Uma esfera de massa
e raio
gira em torno do eixo
, que passa por seu centro de massa, com velocidade angular
.
c) Qual a equação de movimento satisfeita pelo sistema?
c) Qual a equação de movimento satisfeita pelo sistema?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera com massa
e raio
girando ao redor do eixo
, que passa pelo seu centro de massa, com uma velocidade angular
. Estamos trabalhando com dinâmica rotacional aqui. Para resolver, vamos precisar entender como as equações de movimento funcionam para objetos que estão girando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para sistemas em rotação, a equação de movimento é semelhante à segunda lei de Newton para movimentos lineares, mas aplicada à rotação. Ou seja,
onde
é o torque resultante e
é o momento angular.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o momento angular
da esfera. Para um objeto rígido girando ao redor de um eixo fixo, o momento angular é dado por
onde
é o momento de inércia da esfera e
é a velocidade angular.
Passo 4
O momento de inércia
para uma esfera sólida em relação a um eixo que passa pelo seu centro é
Então, substituindo na expressão do momento angular, temos
Passo 5
Agora, vamos derivar o momento angular em relação ao tempo para encontrar
. Se a velocidade angular
está constante, então
Mas se estamos considerando a equação de movimento, podemos manter
como variável.
Passo 6
Agora, aplicando a equação
, temos
Esta é a equação de movimento que relaciona o torque aplicado ao sistema com a variação da velocidade angular.
Resposta
A equação de movimento satisfeita pelo sistema é