Uma esfera de massa M e raio R gira em torno do eixo Z, que passa por seu centro de massa, com velocidade angular omega=omega0 k.
c) Qual a equação de movimento satisfeita pelo sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera com massa M e raio R girando ao redor do eixo Z, que passa pelo seu centro de massa, com uma velocidade angular omega = omega0 k. Estamos trabalhando com dinâmica rotacional aqui. Para resolver, vamos precisar entender como as equações de movimento funcionam para objetos que estão girando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para sistemas em rotação, a equação de movimento é semelhante à segunda lei de Newton para movimentos lineares, mas aplicada à rotação. Ou seja, tau = dLdt
onde tau é o torque resultante e L é o momento angular.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o momento angular L da esfera. Para um objeto rígido girando ao redor de um eixo fixo, o momento angular é dado por L = I omega
onde I é o momento de inércia da esfera e omega é a velocidade angular.

Passo 4

O momento de inércia I para uma esfera sólida em relação a um eixo que passa pelo seu centro é I = 25 M R^2
Então, substituindo na expressão do momento angular, temos L = 25 M R^2 omega

Passo 5

Agora, vamos derivar o momento angular em relação ao tempo para encontrar dLdt. Se a velocidade angular omega está constante, então dLdt = 25 M R^2 domegadt
Mas se estamos considerando a equação de movimento, podemos manter omega como variável.

Passo 6

Agora, aplicando a equação tau = dLdt, temos tau = 25 M R^2 domegadt
Esta é a equação de movimento que relaciona o torque aplicado ao sistema com a variação da velocidade angular.

Resposta

A equação de movimento satisfeita pelo sistema é tau = 25 M R^2 domegadt

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