Uma esfera de massa
e raio
gira em torno do eixo
, que passa por seu centro de massa, com velocidade angular
.
b) Aplica-se uma força constante
, tangenciando a esfera em seu equador. Qual o vetor torque
devido a
em relação ao CM da esfera?
b) Aplica-se uma força constante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera com massa $ M $ e raio $ R $ que está girando ao redor do eixo $ Z $ com uma velocidade angular $ \omega = \omega_{0} \hat{k} $. Depois, aplica-se uma força constante $ \vec{F} = F_{0} \hat{i} $ na parte equatorial da esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor torque $ \tau_{cm} $ que essa força gera em relação ao centro de massa da esfera.
Matéria envolvida: Mecânica, mais especificamente o estudo de torque e forças em objetos giratórios.
O que vamos precisar: Entender o conceito de torque ($ \vec{\tau}
\vec{r}
\vec{F} $), e como aplicá-lo para encontrar o torque resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é torque. O torque ($ \vec{\tau} $) é uma medida de como uma força causa uma rotação em torno de um ponto (neste caso, o centro de massa). A fórmula do torque é:
Onde:
- $ \vec{r} $ é o vetor posição do ponto onde a força é aplicada em relação ao ponto de rotação (centro de massa).
- $ \vec{F} $ é o vetor força.
Passo 3
Vamos identificar os vetores $ \vec{r} $ e $ \vec{F} $:
- Vetor posição ($ \vec{r} $): Como a força é aplicada na parte equatorial da esfera, podemos considerar que o ponto de aplicação está no equador a uma distância $ R $ do centro. Se considerarmos que a força está na direção $ \hat{i} $, então o vetor posição pode ser representado como:
Aqui, usamos $ \hat{j} $ porque a força $ \vec{F} = F_{0} \hat{i} $ está na direção $ \hat{i} $, e para ser tangencial no equador, $ \vec{r} $ deve estar na direção perpendicular.
- Vetor força ($ \vec{F} $):
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} $.
Substituindo os vetores:
Lembrando que o produto vetorial de $ \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k} $, temos:
Passo 5
Portanto, o vetor torque $ \tau_{cm} $ devido à força $ \vec{F} $ em relação ao centro de massa da esfera é:
Resposta
O vetor torque $ \vec{\tau}{cm} $ é igual a $ -R F{0} \hat{k} $.