Uma esfera com \mathrm{v}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} colide frontalmente com outra que está em repouso. As duas possuem a mesma massa. Se a colisão for completamente elástica, quais são as velocidades finais?

Passo 1

O enunciado descreve uma colisão unidimensional totalmente elástica entre duas esferas de mesma massa m. Antes da colisão, a esfera 1 move-se com velocidade \mathrm{v}=10\text{ m/s} (denotamos u_1=10\text{ m/s}) e a esfera 2 está em repouso ( u_2=0). Para resolver, usaremos a conservação do momento linear e da energia cinética.

Passo 2

Escrevemos as equações de conservação:
Conservação do momento linear
m\,u_1 + m\,u_2 = m\,v_1 + m\,v_2
que simplifica para
u_1 + u_2 = v_1 + v_2.
Conservação da energia cinética
\tfrac12 m\,u_1^2 + \tfrac12 m\,u_2^2 = \tfrac12 m\,v_1^2 + \tfrac12 m\,v_2^2
que dá
u_1^2 + u_2^2 = v_1^2 + v_2^2.

Passo 3

Substituindo u_1=10 e u_2=0 nas duas equações:
10 = v_1 + v_2
100 = v_1^2 + v_2^2.

Passo 4

Da primeira equação, v_2 = 10 - v_1. Substituindo em v_1^2 + v_2^2 = 100 temos
v_1^2 + (10 - v_1)^2 = 100 \quad\Longrightarrow\quad 2v_1^2 - 20v_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_1\,(v_1 - 10) = 0.
Logo, as soluções são v_1=0 ou v_1=10.

Passo 5

Se v_1=10, então v_2=0 — isso corresponderia a não ter ocorrido troca de velocidades (caso sem interação). No caso físico de colisão elástica entre massas idênticas, as esferas trocam suas velocidades, ficando
v_1 = 0,\qquad v_2 = 10\text{ m/s}.

Resposta

A esfera que vinha em movimento para de se mover ( v_1=0) e a que estava em repouso sai com velocidade de 10\text{ m/s} ( v_2=10\text{ m/s}).

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