Uma esfera metálica de 27 cm de raio possui uma carga de 3 \times 10^{-8} \mathrm{C} . \mathrm{SeV}=0 no infinito, qual é o potencial elétrico na superfície da esfera e a que distância da superfície da esfera o potencial é 700 V menor do que na superfície da esfera? ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera condutora de raio R=27 cm, carregada com Q=3\times10^{-8} C, com potencial elétrico definido como zero no infinito. Precisamos calcular:
  1. o potencial na superfície da esfera, V(R);
  2. a que distância da superfície ( d=r-R) o potencial cai 700 V em relação a V(R).
    O conteúdo usado é o potencial eletrostático de uma carga pontual (válido também na superfície de uma esfera metálica):
V(r)=\frac{k\,Q}{r},
onde k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.

Passo 2

Calculamos primeiro o potencial na superfície ( r=R):
V(R) =\frac{k\,Q}{R} =\frac{8{,}99\times10^{9}\times3\times10^{-8}}{0{,}27} \approx9{,}99\times10^{2}\,\mathrm{V}.

Passo 3

Agora queremos achar r tal que
V(r)=V(R)-700,
ou seja
\frac{k\,Q}{r}= \frac{k\,Q}{R}-700.
Isolando r:
\frac{1}{r}=\frac{1}{R}-\frac{700}{k\,Q} \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}-\frac{700}{k\,Q}}.

Passo 4

Substituindo valores numéricos:
\frac{1}{r} =\frac{1}{0{,}27}-\frac{700}{8{,}99\times10^{9}\times3\times10^{-8}} \approx3{,}704-\;0{,}110=3{,}594\;\mathrm{m^{-1}},
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r\approx\frac{1}{3{,}594}\approx0{,}278\;\mathrm{m}.
A distância medida a partir da superfície é
d=r-R\approx0{,}278-0{,}27=0{,}008\;\mathrm{m}\approx8\;\mathrm{mm}.

Resposta

Potencial na superfície: V(R)\approx1{,}0\times10^{3} V.
Distância da superfície onde o potencial é 700 V menor: d\approx8 mm.

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