(\mathbf{2}, \mathbf{5}) Uma partícula puntiforme de carga q_{1} e massa m é projetada diretamente na direção do centro de um núcleo de carga q_{2}; ambas as cargas são positivas. Se o projétil tem uma velocidade inicial v_{0} muito longe do núcleo, mostre que a distância mínima de aproximação é dada por
D=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{2 q_{1} q_{2}}{m v_{0}^{2}}

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula puntiforme de massa m e carga q_{1} projetada diretamente (trajetória radial) contra um núcleo fixo de carga q_{2}, ambas positivas. A velocidade inicial é v_{0} a “infinito”, onde a energia potencial eletrostática é nula. Queremos a menor distância de aproximação D. O conteúdo usado é conservação da energia mecânica com força de Coulomb.

Passo 2

Energia mecânica inicial em r\to\infty: toda cinética, pois U(\infty)=0.
E_{i} = \tfrac12\,m\,v_{0}^{2}.

Passo 3

No ponto de aproximação mínima r=D a velocidade se anula (turning point), de modo que a energia total é só potencial eletrostática de repulsão:
E_{f} = U(D) = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{q_{1}q_{2}}{D}.

Passo 4

Pela conservação da energia E_{i}=E_{f}, temos
\tfrac12\,m\,v_{0}^{2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{q_{1}q_{2}}{D}.
Isolando D:
D = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{2\,q_{1}q_{2}}{m\,v_{0}^{2}}.

Resposta

D = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{2\,q_{1}q_{2}}{m\,v_{0}^{2}}.

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