Uma esfera de naftaleno, não porosa é suspensa em ar estagnado. O naftaleno sublima lentamente e se difunde no ar. Estime o tempo necessário para reduzir o diâmetro do naftaleno de 2 a 0,5 \mathrm{~cm} quando o ar circundante se encontra a 347 \mathrm{Ke} 1,013.10^{5} \mathrm{~Pa}. Lembre-se que o naftaleno possui massa molar de 128 \mathrm{g} / \mathrm{mol}, densidade de 1,145 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, sua difusividade no ar é de 8,19.10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e exerce uma pressão de vapor de 666 Pa a 347 K .

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera sólida de naftaleno (não porosa) que sublima em ar estagnado. Queremos o tempo para o diâmetro encolher de 2,cm para 0{,}5,cm a T=347,K e p_\infty\approx0. O conteúdo é transporte de massa controlado por difusão esférica quase‐estacionária. Vamos usar a lei de Fick para uma esfera isolada e o balanço de massa no sólido.

Passo 2

Em condição quase‐estacionária, o fluxo molar total de naftaleno saindo da esfera é
\dot{N}_A \;=\; 4\pi R\,D_{AB}\,\bigl(C_s - C_\infty\bigr),
onde C_s é a concentração de vapor saturado junto à superfície e C_\infty\approx0. Usando a lei dos gases ideais,
C_s \;=\;\frac{p_s}{R_u\,T},
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\dot{N}_A \;=\;4\pi R\,D_{AB}\,\frac{p_s}{R_u\,T}.

Passo 3

A massa da esfera é
m \;=\;\rho\,\frac{4}{3}\pi R^3.
A taxa de perda de massa é \dot m=-M\,\dot{N}_A. Por outro lado,
\frac{dm}{dR} \;=\;4\pi\rho\,R^2,
portanto
\frac{dm}{dt} =\frac{dm}{dR}\,\frac{dR}{dt} =4\pi\rho\,R^2\,\frac{dR}{dt} =-M\;4\pi R\,D_{AB}\,\frac{p_s}{R_u\,T}.
Cancelando 4\pi e um R em ambos os lados, obtemos
\rho\,R^2\,\frac{dR}{dt} =-D_{AB}\,\frac{M\,p_s}{R_u\,T}\,R \quad\Longrightarrow\quad \frac{dR}{dt}=-\frac{K}{R},
com
K=\frac{D_{AB}\,M\,p_s}{\rho\,R_u\,T}.

Passo 4

Integramos de R_0 a R e de 0 a t:
\int_{R_0}^{R} R\,dR =-K\int_{0}^{t}dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}\bigl(R^2 - R_0^2\bigr)=-K\,t.
Resolvendo para t, tomando R_0=0{,}01,m e R=0{,}0025,m,
t=\frac{R_0^2 - R^2}{2\,K}.

Passo 5

Calculando K com D_{AB}=8{,}19\times10^{-6}, m^{2}/s, M=0{,}128,kg/mol, p_s=666,Pa, \rho=1{,}145,g/c m^{3} =1145,kg/ m^{3}, R_u=8{,}314,J/(mo l\cdot K), T=347,K:
K=\frac{8{,}19\times10^{-6}\times0{,}128\times666} {1145\times8{,}314\times347} \approx2{,}11\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}.
Então
R_0^2 - R^2 = (0{,}01)^2 - (0{,}0025)^2 = 1\times10^{-4} - 6{,}25\times10^{-6} =9{,}375\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
t=\frac{9{,}375\times10^{-5}}{2\times2{,}11\times10^{-10}} \approx2{,}22\times10^{5}\\ \mathrm{s} \approx61{,}7\\ \mathrm{h}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 2,22\times10^{5},s, ou cerca de 61{,}7 horas ( \approx 2,6 dias).

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