(Questão 2-1,0 pontos) Num processo de tinturaria de lã, o corante A se difunde através da lã como num meio semi-infinito, reagindo com as fibras e produzindo um composto A_{1} que fica imobilizado. A constante de equilíbrio dessa reação, \mathrm{K}=\mathrm{C}_{\mathrm{AI}} / \mathrm{C}_{\mathrm{A}}, é igual a 16 . O coeficiente de difusão do corante A através da lã é igual a 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} \mathrm{~s}^{-1}. Utilizando como base a solução de difusão transiente em meio semi-infinito, calcule a razão dos fluxos de desaparecimento de A na superfície da lã com e sem reação química.
Passo 1
O enunciado trata da difusão transitória de um corante A num meio semi-infinito com e sem reação química instantânea (de equilíbrio) A ⇌ A_{1}, cuja constante de equilíbrio é
K = \frac{C_{A_1}}{C_{A}} = 16.
O coeficiente de difusão de A é D=10^{-5}\,\mathrm{cm^2/s}.
Vamos usar a solução clássica de Fick para um meio semi-infinito com concentração de superfície constante e depois incorporar o efeito da reação em equilíbrio.
Passo 2
Sem reação, a superfície é mantida à concentração livre constante C_{s}. A solução padrão para o fluxo na superfície x=0 num meio semi-infinito é
Com reação instantânea de equilíbrio, parte de A transforma-se em A_{1}. No equilíbrio local vale
C_{A_1} = K\,C_{A},
de modo que a concentração total de corante é
C_{T} = C_{A} + C_{A_1} = (1+K)\,C_{A}.
A difusão do total C_{T} ocorre com difusividade eficaz
D_{\text{eff}} = \frac{D}{1+K}.
Na superfície mantemos C_{A}(0,t)=C_{s}, logo C_{T}(0,t)=(1+K)\,C_{s}.
Passo 4
Aplicando a mesma forma de solução transitória ao transporte de C_{T}, o fluxo de desaparecimento de A (total consumido, livre + imobilizado) na superfície é