Uma esfera não condutora maciça de raio a=2,00 \mathrm{~cm} é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b=4,00 \mathrm{~cm} e raio externo c=4,80 \mathrm{~cm}. A esfera possui uma carga q_{1}=+5,00 p C e a casca possui uma carga q_{2}=-q_{1}. Determine o módulo do campo elétrico
em r=1,00 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera não condutora maciça de raio a=2{,}00\text{ cm} com carga total q_{1}=+5{,}00\text{ pC} distribuída volumetricamente de forma uniforme, envolta por uma casca condutora neutra exceto pela carga q_{2}=-q_{1}. Queremos o campo elétrico em r=1{,}00\text{ cm}, ou seja, dentro da esfera não condutora. Como há simetria esférica, vamos usar a Lei de Gauss para distribuição volumétrica uniforme.

Passo 2

Primeiro, determinamos a densidade volumétrica de carga \rho. Sabendo que a carga total q_{1} está uniformemente distribuída num volume de raio a, temos
\rho = \frac{q_{1}}{\tfrac{4}{3}\pi a^{3}}.

Passo 3

Para um raio r<a, a carga envolvida por uma superfície gaussiana esférica de raio r é
Q_{\text{enc}} = \rho \,\frac{4}{3}\pi r^{3} = q_{1}\,\frac{r^{3}}{a^{3}}.

Passo 4

A Lei de Gauss diz que
E( r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Substituindo Q_{\text{enc}}=q_{1}r^{3}/a^{3} e isolando E(r), obtemos
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{q_{1}\,r^{3}}{a^{3}\,r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{q_{1}\,r}{a^{3}}.

Passo 5

Agora substituímos valores em unidades do SI:
q_{1}=5{,}00\times10^{-12}\,\mathrm{C},\quad a=2{,}00\times10^{-2}\,\mathrm{m},\quad r=1{,}00\times10^{-2}\,\mathrm{m},\quad \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
Calculando
\frac{q_{1}\,r}{a^{3}} =\frac{5{,}00\times10^{-12}\times1{,}00\times10^{-2}} {(2{,}00\times10^{-2})^{3}} =\frac{5{,}00\times10^{-14}}{8{,}00\times10^{-6}} =6{,}25\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^{2}}
e daí
E(1{,}00\text{ cm}) =8{,}99\times10^{9}\times6{,}25\times10^{-9} \approx56{,}2\;\mathrm{V/m}.

Resposta

O módulo do campo elétrico em r=1{,}00\text{ cm} é aproximadamente
E = 56{,}2\;\mathrm{V/m}.

Exercícios relacionados