Uma esfera não condutora maciça de raio a=2,00 \mathrm{~cm} é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b=4,00 \mathrm{~cm} e raio externo c=4,80 \mathrm{~cm}. A esfera possui uma carga q_{1}=+5,00 p C e a casca possui uma carga q_{2}=-q_{1}. Determine o módulo do campo elétrico
em r=3,00 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera não condutora de raio a=2{,}00\text{ cm} com carga total q_1=+5{,}00\text{ pC} uniformemente distribuída, concêntrica a uma casca condutora de raios interno b=4{,}00\text{ cm} e externo c=4{,}80\text{ cm} com carga q_2=-q_1. Pede-se o módulo do campo elétrico em r=3{,}00\text{ cm}. Vamos usar eletrostática e a Lei de Gauss para resolver.

Passo 2

Como r=3{,}00\text{ cm} satisfaz a<r<b, estamos no espaço vazio entre a esfera carregada e a casca condutora. Nessa região, a única carga envolvida numa superfície gaussiana esférica de raio r é a carga da esfera, ou seja,
q_{\mathrm{enc}} = q_1 = 5{,}00\times10^{-12}\text{ C}.

Passo 3

Pela Lei de Gauss:
\oint \vec E\cdot d\vec A = E(r)\,4\pi r^2 = \frac{q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}
Logo,
E(r) = \frac{q_{\mathrm{enc}}}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}.

Passo 4

Substituindo q_{\mathrm{enc}}=5{,}00\times10^{-12}\text{ C}, r=3{,}00\text{ cm}=0{,}0300\text{ m} e 1/(4\pi\varepsilon_0)=8{,}99\times10^9\text{ N\cdotm}^2/\text{C}^2, temos
E(0{,}0300) = \frac{8{,}99\times10^9 \times 5{,}00\times10^{-12}}{(0{,}0300)^2} \approx 4{,}99\times10^1\text{ V/m}.

Resposta

O módulo do campo elétrico em r=3{,}00\text{ cm} é aproximadamente 5{,}0\times10^1\text{ V/m}, dirigido radialmente para fora.

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