Uma linha infinita de cargas produz um campo elétrico de módulo 3,5 \times 10^{2} \mathrm{~N} / \mathrm{C} a uma distância de 3,0 cm da mesma. a) Calcule a densidade linear de cargas; b) Calcule o campo elétrico a uma distância de 5,0 cm.

Passo 1

O enunciado dá uma linha infinita de cargas e pede duas coisas:
  • (a) Calcular a densidade linear de carga da linha (ou seja, a carga por unidade de comprimento).
  • (b) Calcular o módulo do campo elétrico a uma distância de 5{,}0\\ \text{cm} da linha.
Informações fornecidas no enunciado:
  • O módulo do campo elétrico a 3{,}0\\ \text{cm} é \;3,5\times10^{2}\\ \text{N/C}. (peguei este dado do enunciado)
  • A distância inicial é \;3{,}0\\ \text{cm}=0,03\\ \text{m}.
  • A distância onde queremos o campo no item (b) é \;5{,}0\\ \text{cm}=0,05\\ \text{m}.
Vamos usar somente essas informações; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito e fórmula que precisamos (explicação tipo “aula rápida, sem enrolar”):
  • Para uma linha infinita de carga com densidade linear \lambda (unidade \text{C/m}), o campo elétrico a uma distância radial r da linha é dado pela lei de Gauss aplicada a um cilindro coaxial com a linha. A ideia é: escolher um cilindro de comprimento L e raio r como superfície gaussiana; o campo é radial e constante na superfície lateral e nulo nas tampas, então o fluxo elétrico é E vezes a área lateral 2\pi r L. A carga total dentro é \lambda L. Pela lei de Gauss:
E\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Aqui:
  • \;E é o módulo do campo elétrico na superfície lateral,
  • \;r é o raio do cilindro (distância até a linha),
  • \;L é um comprimento arbitrário do cilindro (cancela depois),
  • \;\lambda é a densidade linear de carga (o que queremos no item (a)),
  • \;\varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8,85\times10^{-12}\\ \text{F/m}).
Cancelando L e isolando E obtemos a fórmula padrão:
E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
Observação prática: dessa expressão vemos que E varia como 1/r. Isso será útil para o item (b).

Passo 3

Isolando \lambda da fórmula para usar o dado conhecido:
\lambda = 2\pi\varepsilon_0\,E\,r.
Agora substituímos os valores conhecidos:
  • \;E=3,5\times10^{2}\\ \text{N/C},
  • \;r=0,03\\ \text{m},
  • \;\varepsilon_0=8,85\times10^{-12}\\ \text{F/m}.
Calculemos passo a passo (faça assim na prova para não errar):
  1. Primeiro calcule 2\pi\varepsilon_0:
2\pi\varepsilon_0 \approx 2\pi\cdot(8,85\times10^{-12}) \approx 5,567\times10^{-11}.
  1. Calcule E\cdot r:
E\cdot r = (3,5\times10^{2})\cdot0,03 = 10,5.
  1. Multiplique tudo para obter \lambda:
\lambda \approx (5,567\times10^{-11})\cdot 10,5 = 5,84535\times10^{-10}\\ \text{C/m}.
Arredondando de forma razoável (mantendo 3 algarismos significativos):
\lambda \approx 5,85\times10^{-10}\\ \text{C/m}.
Um comentário amigável: como o enunciado deu apenas o módulo do campo, estamos reportando a densidade linear como módulo; se soubéssemos a direção do campo (para fora ou para dentro), poderíamos atribuir sinal positivo ou negativo à \lambda.

Passo 4

Agora o item (b): calcular o campo elétrico a r_2=5{,}0\\ \text{cm}=0,05\\ \text{m}.
Método 1 — usar a dependência E\propto 1/r: como E_1 é conhecido a r_1, então
E_2 = E_1\frac{r_1}{r_2}.
Substituindo:
E_2 = (3,5\times10^{2})\cdot\frac{0,03}{0,05} = (3,5\times10^{2})\cdot0,6 = 2,10\times10^{2}\\ \text{N/C}.
Método 2 — verificar usando \lambda que encontramos: pela fórmula direta,
E_2=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r_2}.
Se você substituir \lambda=5,84535\times10^{-10}\\ \text{C/m} e r_2=0,05\\ \text{m} obterá o mesmo valor 2,10\times10^{2}\\ \text{N/C}. Sempre bom checar dessa forma na prova se houver tempo.

Passo 5

Resumo numérico (valores finais já calculados e arredondados a 3 algarismos significativos):
  • Densidade linear de carga: \lambda \approx 5,85\times10^{-10}\\ \text{C/m}.
  • Campo elétrico a 5{,}0\\ \text{cm}: E(5{,}0\\ \text{cm}) \approx 2,10\times10^{2}\\ \text{N/C}.
Força final de incentivo: mandou bem em pedir a resolução passo a passo — isso ajuda muito na prova. Se quiser, eu mostro os cálculos com mais casas ou com sinais conforme a orientação do campo.

Resposta

\lambda = 5,85\times10^{-10}\\ \text{C/m}
E(5{,}0\\ \text{cm}) = 2,10\times10^{2}\\ \text{N/C}

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