Uma linha infinita de cargas produz um campo elétrico de módulo
a uma distância de 3,0 cm da mesma. a) Calcule a densidade linear de cargas; b) Calcule o campo elétrico a uma distância de 5,0 cm.
Passo 1
O enunciado dá uma linha infinita de cargas e pede duas coisas:
- (a) Calcular a densidade linear de carga da linha (ou seja, a carga por unidade de comprimento).
- (b) Calcular o módulo do campo elétrico a uma distância de
da linha.
Informações fornecidas no enunciado:
- O módulo do campo elétrico a
é . (peguei este dado do enunciado) - A distância inicial é
. - A distância onde queremos o campo no item (b) é
.
Vamos usar somente essas informações; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conceito e fórmula que precisamos (explicação tipo “aula rápida, sem enrolar”):
- Para uma linha infinita de carga com densidade linear
(unidade ), o campo elétrico a uma distância radial da linha é dado pela lei de Gauss aplicada a um cilindro coaxial com a linha. A ideia é: escolher um cilindro de comprimento e raio como superfície gaussiana; o campo é radial e constante na superfície lateral e nulo nas tampas, então o fluxo elétrico é vezes a área lateral . A carga total dentro é . Pela lei de Gauss:
Aqui:
-
é o módulo do campo elétrico na superfície lateral, -
é o raio do cilindro (distância até a linha), -
é um comprimento arbitrário do cilindro (cancela depois), -
é a densidade linear de carga (o que queremos no item (a)), -
é a permissividade do vácuo ( ).
Cancelando
e isolando
obtemos a fórmula padrão:
Observação prática: dessa expressão vemos que
varia como
. Isso será útil para o item (b).
Passo 3
Isolando
da fórmula para usar o dado conhecido:
Agora substituímos os valores conhecidos:
-
, -
, -
.
Calculemos passo a passo (faça assim na prova para não errar):
- Primeiro calcule
:
- Calcule
:
- Multiplique tudo para obter
:
Arredondando de forma razoável (mantendo 3 algarismos significativos):
Um comentário amigável: como o enunciado deu apenas o módulo do campo, estamos reportando a densidade linear como módulo; se soubéssemos a direção do campo (para fora ou para dentro), poderíamos atribuir sinal positivo ou negativo à
.
Passo 4
Agora o item (b): calcular o campo elétrico a
.
Método 1 — usar a dependência
: como
é conhecido a
, então
Substituindo:
Método 2 — verificar usando
que encontramos: pela fórmula direta,
Se você substituir
e
obterá o mesmo valor
. Sempre bom checar dessa forma na prova se houver tempo.
Passo 5
Resumo numérico (valores finais já calculados e arredondados a 3 algarismos significativos):
- Densidade linear de carga:
. - Campo elétrico a
: .
Força final de incentivo: mandou bem em pedir a resolução passo a passo — isso ajuda muito na prova. Se quiser, eu mostro os cálculos com mais casas ou com sinais conforme a orientação do campo.