Uma esfera não condutora oca de raio interno 
  e raio externo 
 , possui uma densidade volumétrica de carga dada por 
 , onde 
  é uma constante qualquer e 
  é a distância ao centro. Usando a lei de Gauss, determine o módulo do campo elétrico (a) no interior da esfera; (b) no exterior da esfera. © Responda aos itens (a) e (b) novamente, considerando agora que a esfera é condutora.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca não condutora com raio interno 
  e raio externo 
 . A densidade de carga é 
 , onde 
  é uma constante e 
  é a distância do centro. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o módulo do campo elétrico:
(a) No interior da esfera;
(b) No exterior da esfera.
Depois, vamos refazer os itens considerando que a esfera é condutora.
(a) No interior da esfera;
(b) No exterior da esfera.
Depois, vamos refazer os itens considerando que a esfera é condutora.
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga elétrica dentro de uma superfície gaussiana. Também vamos precisar lembrar como a simetria esférica facilita a aplicação dessa lei.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
Isso significa que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante 
 .
Como a esfera é simétrica, vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio 
 .
Passo 3
Vamos considerar o caso (a): campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para 
 .
Dentro dessa região, a esfera oca não tem carga. Então, a carga total dentro da superfície gaussiana é zero.
Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto, 
 .
Passo 4
Agora, para o item (b): campo elétrico no exterior da esfera, ou seja, para 
 .
Precisamos calcular a carga total 
  na esfera. A densidade de carga é 
 .
A carga total é a integral da densidade sobre o volume:
Integrando:
Agora, aplicamos a Lei de Gauss com 
 :
Isolando 
 :
Passo 5
Agora, para o item ©, vamos considerar que a esfera é condutora.
Em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático:
- O campo elétrico dentro do material condutor é zero.
 - Toda a carga está na superfície externa.
 
Então, para 
 :
Para 
 , a carga total é 
 , mas agora como toda a carga está na superfície externa, o campo é o mesmo que no caso não condutor para 
 :
Resposta
(a) Para 
 , 
 .
(b) Para 
 , 
 .
© Se a esfera for condutora:
- Para 
, ;  - Para 
, .