Uma esfera nảo condutora oca de raio interno a e raio externo R, possui uma densidade volumétrica de carga dada por rho=b r^2, onde b é uma constante qualquer e r é a distāncia ao centro. Usando a lei de Gauss, determine o módulo do campo elétrico (a) no interior da esfera; (b) no exterior da esfera. (c) Responda aos itens (a) e (b) novamente, considerando agora que a esfera é condutora.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica não condutora, oca, com raio interno a e externo R, carregada segundo
rho(r)=b,r^2,
e pede o módulo de E (a) no interior da casca (região de cavidade, r<a); (b) no exterior da casca ( r>R); (c) repetir (a) e (b) supondo agora que a casca seja condutora. Vamos aplicar a Lei de Gauss em cada região considerando a simetria esférica.

Passo 2

Região interior da casca ( r<a), não condutora. Um cilindro gaussiano esférico de raio r<a não envolve nenhuma carga, pois rho existe só em a<= r'<= R. Logo o fluxo é zero e
oint Ecdot dA=0 Longrightarrow E(r)=0 (r<a)

Passo 3

Região exterior da casca ( r>R), não condutora. A carga total é
Qrm tot =integrala^Rrho(r'),4pi r'^2dr' =4pi bintegrala^Rr'^4dr' =4pi b5l(R^5-a^5r)
Pela Lei de Gauss, para r>R,
E(r),4pi r^2 =Qrm totvarepsilon0 Longrightarrow E(r) =14pivarepsilon0, 4pi b5,R^5-a^5r^2 =b,(R^5-a^5)5varepsilon0,r^2

Passo 4

Esfera condutora (com mesma carga total calculada acima). Num condutor em equilíbrio eletrostático,
  • Em toda região interna ao metal ( r<R), temos E=0.
  • A carga total Qrm tot fica na superfície externa r=R.
  • Para r>R, o campo é idêntico ao da carga pontual Qrm tot no centro, ou seja
E(r)=14pivarepsilon0, Qrm totr^2 =b,(R^5-a^5)5varepsilon0,r^2

Resposta

(a) Interior (\r<a\r), não condutora:
E(r)=0
(b) Exterior (\r>R\r), não condutora:
E(r)=b,(R^5-a^5)5varepsilon0,r^2
(c) Esfera condutora:
- Para r<R: E(r)=0.
- Para r>R:
E(r)=b,(R^5-a^5)5varepsilon0,r^2

Exercícios relacionados