Uma esfera (não condutora) de raio
tem uma carga total
.
Calcule o campo elétrico dentro e fora da esfera através da Lei de Gauss, da origem até o infinito e faça o esboço do gráfico.
Calcule o campo elétrico dentro e fora da esfera através da Lei de Gauss, da origem até o infinito e faça o esboço do gráfico.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma esfera não condutora com raio
e uma carga total
. O que a gente vai fazer aqui é calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora dessa esfera usando a Lei de Gauss. Para isso, precisamos entender um pouco sobre distribuição de carga e como aplicar a simetria esférica nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a densidade de carga da esfera. Como a esfera não é condutora e a carga está distribuída de maneira uniforme, a densidade de carga
é a carga total dividida pelo volume da esfera. A fórmula do volume de uma esfera é:
Então, a densidade de carga fica:
Passo 3
Vamos usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para
. A Lei de Gauss nos diz que:
Como a distribuição de carga é esférica e simétrica, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todas as direções e depende apenas da distância
do centro. A área da superfície gaussiana é:
A carga interior
para
é a densidade de carga multiplicada pelo volume da esfera de raio
:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, para
. Novamente, usamos a Lei de Gauss:
Nesse caso, a carga total
é
. A área da superfície gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando
:
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico do campo elétrico
em função da distância
desde o centro da esfera até o infinito.
- Para
: o campo cresce linearmente com . - Para
: o campo decai com o inverso do quadrado da distância.
O gráfico terá uma linha reta crescente até
e, a partir daí, uma curva que decai rapidamente conforme
.
Resposta
O campo elétrico
em função da distância
do centro da esfera é dado por: