Uma esfera (não condutora) de raio R=10,0 cm tem uma carga total Q1=+100,0 mu C.
Calcule o campo elétrico dentro e fora da esfera através da Lei de Gauss, da origem até o infinito e faça o esboço do gráfico.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma esfera não condutora com raio R = 10,0,cm e uma carga total Q1 = +100,0,muC. O que a gente vai fazer aqui é calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora dessa esfera usando a Lei de Gauss. Para isso, precisamos entender um pouco sobre distribuição de carga e como aplicar a simetria esférica nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a densidade de carga da esfera. Como a esfera não é condutora e a carga está distribuída de maneira uniforme, a densidade de carga rho é a carga total dividida pelo volume da esfera. A fórmula do volume de uma esfera é:
V = 43pi R^3
Então, a densidade de carga fica:
rho = Q1V = Q143pi R^3 = 3Q14pi R^3

Passo 3

Vamos usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para r < R. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qinteriorvarepsilon0
Como a distribuição de carga é esférica e simétrica, o campo elétrico E tem a mesma magnitude em todas as direções e depende apenas da distância r do centro. A área da superfície gaussiana é:
A = 4pi r^2
A carga interior Qinterior para r < R é a densidade de carga multiplicada pelo volume da esfera de raio r:
Qinterior = rho cdot 43pi r^3 = 3Q14pi R^3 cdot 43pi r^3 = Q1 ( rR )^3
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Q1 ( rR )^3varepsilon0
Isolando E:

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, para r > R. Novamente, usamos a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0
Nesse caso, a carga total Qtotal é Q1. A área da superfície gaussiana é:
A = 4pi r^2
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Q1varepsilon0
Isolando E:
E = Q14pi varepsilon0 r^2

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico do campo elétrico E em função da distância r desde o centro da esfera até o infinito.
  • Para r < R: o campo cresce linearmente com r.
  • Para r > R: o campo decai com o inverso do quadrado da distância.
O gráfico terá uma linha reta crescente até r = R e, a partir daí, uma curva que decai rapidamente conforme 1/r^2.

Resposta

O campo elétrico E em função da distância r do centro da esfera é dado por:
E(r) = Q14pi varepsilon0 R^3 , r & para r <= R Q14pi varepsilon0 r^2 & para r > R

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