Uma esfera não condutora de raio R possui uma densidade volumétrica de carga dada por rho=5 r^2 C / m^5. Determine a expressão para o campo elétrico para:
r.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar o campo elétrico dentro (ou seja, para rho(r) = 5,r^2 l[C/m^5r] ) de uma esfera não condutora de raio cuja densidade volumétrica de carga varia com o raio assim:
O conteúdo que vamos usar é a Lei de Gauss, aproveitando a simetria esférica. Só precisarás saber:
  1. como calcular carga total contida até um certo raio (integral de densidade volumétrica),
  2. aplicar a forma integral da Lei de Gauss .

Passo 2

Primeiro achamos a carga contida até um raio genérico Qint(r) ;=; integral0^r rho(r'),dV' ;=; integral0^r 5,r'^2 ;l(4pi r'^2,dr'r) (com Qint(r) = 5 cdot 4pi integral0^r r'^4,dr' = 20pi ,gl[r'^55gr]0^r = 4pi,r^5 ).
Usamos
onde .
Então

Passo 3

Agora aplicamos a Lei de Gauss. Como a simetria é esférica, oint Ecdot dA = E(r);l(4pi r^2r) = Qint(r)varepsilon0 = 4pi,r^5varepsilon0 aponta radialmente e tem módulo constante na superfície de raio E(r);=;4pi,r^54pi,varepsilon0,r^2 ;=;r^3varepsilon0 . Logo
Isolando :

Resposta

boxed,E(r)=r^3varepsilon0,rpara r

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