Uma esfera não condutora, de raio R , possui uma densidade volumétrica de carga dada por : rho=3 \alpha r / 2 R. Determine o campo elétrico para as seguintes condições: \mathrm{r}<\mathrm{R}.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica de carga
\rho(r)=\frac{3\alpha r}{2R},
onde r é a distância radial ao centro. A pergunta pede o campo elétrico para pontos internos à esfera, isto é, para \,r<R.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Raio da esfera: R.
Densidade volumétrica de carga dependente de r: \rho(r)=\dfrac{3\alpha r}{2R}.
Queremos o campo elétrico em pontos com \,r<R.
Passo 2
Qual método usar e por quê. Como a distribuição de carga é radial (depende só da distância r) e a esfera é geométricamente simétrica, o campo elétrico também será radial e terá a mesma magnitude em todos os pontos à mesma distância do centro. Isso permite usar a Lei de Gauss, que é muito eficiente em problemas com simetria esférica.
d\mathbf{A} é o elemento de área orientado da superfície fechada \mathcal{S};
Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro de \mathcal{S};
\varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana. Para calcular o campo em um ponto com r<R escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio \,r centrada no mesmo centro da distribuição. Pela simetria:
\mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre essa superfície.
Portanto o fluxo da direita fica:
Calcular a carga total contida na esfera de raio r (a carga envolvida por \mathcal{S}). A carga elementar em uma casca esférica de raio r' e espessura dr' vale \rho(r')\cdot dV, com o elemento de volume esférico
dV=4\pi r'^2 dr'.
Para evitar confusão entre a variável de integração e o raio onde avaliamos o campo, usamos r' como variável de integração e integramos de 0 até r: