Uma esfera não condutora, de raio R , possui uma densidade volumétrica de carga dada por : rho=3 \alpha r / 2 R. Determine o campo elétrico para as seguintes condições:
\mathrm{r}<\mathrm{R}.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica de carga
\rho(r)=\frac{3\alpha r}{2R},
onde r é a distância radial ao centro. A pergunta pede o campo elétrico para pontos internos à esfera, isto é, para \,r<R.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Raio da esfera: R.
  • Densidade volumétrica de carga dependente de r: \rho(r)=\dfrac{3\alpha r}{2R}.
  • Queremos o campo elétrico em pontos com \,r<R.

Passo 2

Qual método usar e por quê. Como a distribuição de carga é radial (depende só da distância r) e a esfera é geométricamente simétrica, o campo elétrico também será radial e terá a mesma magnitude em todos os pontos à mesma distância do centro. Isso permite usar a Lei de Gauss, que é muito eficiente em problemas com simetria esférica.
A Lei de Gauss (em forma integral) diz:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico;
  • d\mathbf{A} é o elemento de área orientado da superfície fechada \mathcal{S};
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro de \mathcal{S};
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana. Para calcular o campo em um ponto com r<R escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio \,r centrada no mesmo centro da distribuição. Pela simetria:
  • \mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre essa superfície.
    Portanto o fluxo da direita fica:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2,
onde E(r) é a magnitude do campo na distância r.

Passo 4

Calcular a carga total contida na esfera de raio r (a carga envolvida por \mathcal{S}). A carga elementar em uma casca esférica de raio r' e espessura dr' vale \rho(r')\cdot dV, com o elemento de volume esférico
dV=4\pi r'^2 dr'.
Para evitar confusão entre a variável de integração e o raio onde avaliamos o campo, usamos r' como variável de integração e integramos de 0 até r:
Q_{\text{int}}=\int_{0}^{r} \rho(r')\,4\pi r'^2\,dr'.
Agora substituímos \rho(r')=\dfrac{3\alpha r'}{2R} nessa integral.

Passo 5

Executar a integral para Q_{\text{int}}. Substituindo:
Q_{\text{int}}=\int_{0}^{r} \frac{3\alpha r'}{2R}\;4\pi r'^2\,dr'.
Colocando constantes fora da integral:
Q_{\text{int}}=4\pi\frac{3\alpha}{2R}\int_{0}^{r} r'^3\,dr'.
Agora integramos r'^3:
\int_{0}^{r} r'^3\,dr'=\left.\frac{r'^4}{4}\right|_{0}^{r}=\frac{r^4}{4}.
Substituindo de volta:
Q_{\text{int}}=4\pi\frac{3\alpha}{2R}\cdot\frac{r^4}{4}.
Simplificando os fatores:
Q_{\text{int}}=\frac{3\pi\alpha r^4}{2R}.

Passo 6

Aplicar a Lei de Gauss para encontrar E(r). Temos:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{3\pi\alpha r^4}{2R}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\cdot\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{3\pi\alpha r^4}{2R}.
Agora simplificamos fatores semelhantes: o \pi cancela, r^4/r^2=r^2 e 4\cdot 2=8. Assim:
E(r)=\frac{3\alpha r^2}{8R\varepsilon_0}.
Expressando o campo vetorial (direção radial): como a densidade é positiva para \alpha>0 o campo aponta radialmente para fora. Logo:
\mathbf{E}(r)=\frac{3\alpha r^2}{8R\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{r}},\qquad (r<R).
Observações rápidas:
  • Em r=0 E(0)=0, que é esperado por simetria.
  • Se \alpha<0 o campo aponta para o centro (direção oposta ao \hat{\mathbf{r}}).

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{3\alpha r^2}{8R\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{r}}\quad\text{para }r<R

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