Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica a 300 K , realizando um trabalho de 2000 J. Sabendo que R = 8,31
, qual é a razão Vf/Vi entre os volumes final e inicial?
◯ a) 1,2
◯ b) 1,5
◯ c) 2,2
◯ d) 3,0
◯ e) 4,5
◯ a) 1,2
◯ b) 1,5
◯ c) 2,2
◯ d) 3,0
◯ e) 4,5
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma razão entre volumes:
- Temperatura constante durante a expansão:
. - Trabalho realizado pela expansão:
. - Constante dos gases:
. - Pergunta: determinar a razão entre o volume final e o volume inicial, ou seja
.
Observação importante: o enunciado não fornece explicitamente o número de mols
. Isso será tratado nos passos seguintes.
Passo 2
Para uma expansão isotérmica de um gás ideal (temperatura constante) o trabalho realizado pelo gás, assumindo processo reversível, é dado pela integral
Usando a equação do gás ideal
e substituindo na integral, obtemos
Aqui explico cada símbolo:
-
é o trabalho realizado pelo gás (energia transferida por expansão); -
é o número de mols do gás; -
é a constante dos gases ideais; -
é a temperatura absoluta (constante nesse processo); -
é o volume (variável de integração); -
e são os volumes inicial e final, respectivamente.
Passo 3
Como
,
e
são constantes na integração, podemos tirar fora da integral:
Isolando a razão desejada, obtemos a fórmula geral
Passo 4
Avaliação da falta de informação sobre
: a expressão acima exige
. Se
não for dado, a razão
depende de
. Em provas/questões objetivas é comum assumir
mol quando o problema fornece
e não dá
; além disso, as alternativas numéricas fornecidas sugerem que essa é a suposição correta (caso contrário não seria possível escolher entre as opções). Portanto, adotaremos
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula:
Calcule o denominador
:
Agora a razão do expoente:
Passo 6
Agora precisamos calcular
. Uma forma prática de aproximar sem calculadora é decompor o expoente:
onde
é aproximadamente
. Assim
Aproximando
por sua série truncada
para
pequeno:
Portanto
Compare com as alternativas: a que mais se aproxima é
, ou seja a alternativa (c).
Passo 7
Conclusão final: assumindo
(hipótese razoável dada a questão), a razão entre os volumes final e inicial é aproximadamente
, que corresponde à alternativa (c)
.
Resposta
c) 2,2