Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica a 300 K , realizando um trabalho de 2000 J. Sabendo que R = 8,31 \mathrm{J} \cdot \mathrm{mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}, qual é a razão Vf/Vi entre os volumes final e inicial?
◯ a) 1,2
◯ b) 1,5
◯ c) 2,2
◯ d) 3,0
◯ e) 4,5

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma razão entre volumes:
  • Temperatura constante durante a expansão: T=300\\ \text{K}.
  • Trabalho realizado pela expansão: W=2000\\ \text{J}.
  • Constante dos gases: R=8,31\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Pergunta: determinar a razão entre o volume final e o volume inicial, ou seja \dfrac{V_f}{V_i}.
Observação importante: o enunciado não fornece explicitamente o número de mols n. Isso será tratado nos passos seguintes.

Passo 2

Para uma expansão isotérmica de um gás ideal (temperatura constante) o trabalho realizado pelo gás, assumindo processo reversível, é dado pela integral
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
Usando a equação do gás ideal P=\dfrac{nRT}{V} e substituindo na integral, obtemos
W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV.
Aqui explico cada símbolo:
  • W é o trabalho realizado pelo gás (energia transferida por expansão);
  • n é o número de mols do gás;
  • R é a constante dos gases ideais;
  • T é a temperatura absoluta (constante nesse processo);
  • V é o volume (variável de integração);
  • V_i e V_f são os volumes inicial e final, respectivamente.

Passo 3

Como n, R e T são constantes na integração, podemos tirar fora da integral:
W = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\,dV = nRT \left[ \ln V \right]_{V_i}^{V_f} = nRT \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Isolando a razão desejada, obtemos a fórmula geral
\frac{V_f}{V_i} = \exp\!\left(\frac{W}{nRT}\right).

Passo 4

Avaliação da falta de informação sobre n: a expressão acima exige n. Se n não for dado, a razão \dfrac{V_f}{V_i} depende de n. Em provas/questões objetivas é comum assumir n=1 mol quando o problema fornece R e não dá n; além disso, as alternativas numéricas fornecidas sugerem que essa é a suposição correta (caso contrário não seria possível escolher entre as opções). Portanto, adotaremos n=1\\ \text{mol}.

Passo 5

Substituindo n=1 na fórmula:
\frac{V_f}{V_i} = \exp\!\left(\frac{W}{R T}\right).
Calcule o denominador R T:
R T = 8{,}31 \times 300 = 2493\\ \text{J}.
Agora a razão do expoente:
\frac{W}{R T} = \frac{2000}{2493} \approx 0{,}802.

Passo 6

Agora precisamos calcular \exp(0{,}802). Uma forma prática de aproximar sem calculadora é decompor o expoente:
0{,}802 = 0{,}693 + 0{,}109,
onde 0{,}693 é aproximadamente \ln 2. Assim
e^{0{,}802} = e^{0{,}693} \cdot e^{0{,}109} \approx 2 \cdot e^{0{,}109}.
Aproximando e^{x} por sua série truncada e^{x}\approx 1+x+\tfrac{x^{2}}{2} para x pequeno:
e^{0{,}109} \approx 1 + 0{,}109 + \frac{0{,}109^{2}}{2} \approx 1 + 0{,}109 + 0{,}00594 \approx 1{,}11494.
Portanto
\frac{V_f}{V_i} \approx 2 \times 1{,}11494 \approx 2{,}2299 \approx 2{,}23.
Compare com as alternativas: a que mais se aproxima é \,2{,}2, ou seja a alternativa (c).

Passo 7

Conclusão final: assumindo n=1\\ \text{mol} (hipótese razoável dada a questão), a razão entre os volumes final e inicial é aproximadamente 2{,}23, que corresponde à alternativa (c) 2{,}2.

Resposta

c) 2,2

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