Uma esfera não condutora, de raio R , possui uma densidade volumétrica de carga dada por : rho=3 \alpha r / 2 R. Determine o campo elétrico para as seguintes condições:
r>R.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Temos uma esfera não condutora de raio R.
  • A densidade volumétrica de carga dentro da esfera depende de r (distância ao centro) e é dada por \rho(r)=\dfrac{3\alpha r}{2R}.
  • O problema pede o campo elétrico para a região externa à esfera, isto é para r>R.
  • Informação importante de interpretação: a densidade foi dada em função de r (variável radial); para r>R não há carga além da esfera, então o campo externo será determinado pela carga total contida na esfera.

Passo 2

Qual ferramenta vamos usar e por quê.
  • Como a densidade depende apenas de r (e a esfera é geométricamente esférica), o problema tem simetria esférica. Numa situação com simetria esférica o campo elétrico tem direção radial e o mesmo módulo em toda superfície esférica centrada na esfera.
  • A lei de Gauss é a ferramenta ideal. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada vale a carga interna dividida por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Em nosso caso, para uma superfície esférica de raio r>R centrada na esfera, \mathbf{E} é radial e constante sobre a superfície, e d\mathbf{A}=\hat r\,dA. Portanto o lado esquerdo fica
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
  • Para aplicar Gauss precisamos do total de carga Q contida na esfera (ou seja Q_{\text{int}} para r>R). O próximo passo é calcular essa carga total integrando \rho sobre o volume da esfera.

Passo 3

Calcular a carga total Q contida na esfera de raio R.
  • Usamos coordenadas esféricas: a carga contida num casquete esférico de raio r' e espessura dr' é \rho(r')\,dV com dV=4\pi r'^{2}dr'.
  • Vamos usar uma variável de integração r' para não confundir com o ponto onde avaliamos o campo r.
  • Escrevendo a integral:
Q=\int_{V}\rho\,dV=\int_{0}^{R}\rho(r')\,4\pi r'^{2}dr'.
  • Substituindo \rho(r')=\dfrac{3\alpha r'}{2R}:
Q=\int_{0}^{R}\frac{3\alpha r'}{2R}\cdot 4\pi r'^{2}dr'.
  • Factorizando constantes fora da integral:
Q=\frac{3\alpha}{2R}\cdot 4\pi\int_{0}^{R} r'^{3}dr'.
  • Calcule a integral \int_{0}^{R} r'^{3}dr'=\dfrac{R^{4}}{4}. Substituindo:
Q=\frac{3\alpha}{2R}\cdot 4\pi\cdot \frac{R^{4}}{4}.
  • Simplificando passo a passo:
\frac{3\alpha}{2R}\cdot 4\pi\cdot \frac{R^{4}}{4} = \frac{3\alpha\;4\pi\;R^{4}}{2R\cdot 4} = \frac{3\alpha\;4\pi\;R^{4}}{8R} = \frac{3\alpha\;\pi\;R^{3}}{2}.
  • Logo a carga total da esfera é
Q=\frac{3\pi}{2}\,\alpha\,R^{3}.

Passo 4

Aplicar a lei de Gauss para obter o campo externo E(r) para r>R.
  • Pela lei de Gauss com a superfície esférica de raio r>R:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Substituindo Q=\dfrac{3\pi}{2}\alpha R^{3}:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot \frac{3\pi}{2}\alpha R^{3}.
  • Isolando E(r):
E(r)=\frac{\dfrac{3\pi}{2}\alpha R^{3}}{4\pi\varepsilon_0\, r^{2}}.
  • Simplificando o fator \pi:
E(r)=\frac{3\alpha R^{3}}{8\varepsilon_0\, r^{2}}.
  • Lembrando que o vetor campo é radial; se \alpha>0 o campo aponta para fora do centro. Portanto a expressão vetorial é
\mathbf{E}(r)=\frac{3\alpha R^{3}}{8\varepsilon_0\, r^{2}}\,\hat r,\qquad r>R.

Resposta

\mathbf{E}(r)=\frac{3\alpha R^{3}}{8\varepsilon_{0}\,r^{2}}\,\hat r,\qquad r>R.

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