Uma esfera não condutora, de raio R , possui uma densidade volumétrica de carga dada por :
. Determine o campo elétrico para as seguintes condições:
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Temos uma esfera não condutora de raio
. - A densidade volumétrica de carga dentro da esfera depende de
(distância ao centro) e é dada por . - O problema pede o campo elétrico para a região externa à esfera, isto é para
. - Informação importante de interpretação: a densidade foi dada em função de
(variável radial); para não há carga além da esfera, então o campo externo será determinado pela carga total contida na esfera.
Passo 2
Qual ferramenta vamos usar e por quê.
- Como a densidade depende apenas de
(e a esfera é geométricamente esférica), o problema tem simetria esférica. Numa situação com simetria esférica o campo elétrico tem direção radial e o mesmo módulo em toda superfície esférica centrada na esfera. - A lei de Gauss é a ferramenta ideal. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada vale a carga interna dividida por
:
- Em nosso caso, para uma superfície esférica de raio
centrada na esfera, é radial e constante sobre a superfície, e . Portanto o lado esquerdo fica
- Para aplicar Gauss precisamos do total de carga
contida na esfera (ou seja para ). O próximo passo é calcular essa carga total integrando sobre o volume da esfera.
Passo 3
Calcular a carga total
contida na esfera de raio
.
- Usamos coordenadas esféricas: a carga contida num casquete esférico de raio
e espessura é com . - Vamos usar uma variável de integração
para não confundir com o ponto onde avaliamos o campo . - Escrevendo a integral:
- Substituindo
:
- Factorizando constantes fora da integral:
- Calcule a integral
. Substituindo:
- Simplificando passo a passo:
- Logo a carga total da esfera é
Passo 4
Aplicar a lei de Gauss para obter o campo externo
para
.
- Pela lei de Gauss com a superfície esférica de raio
:
- Substituindo
:
- Isolando
:
- Simplificando o fator
:
- Lembrando que o vetor campo é radial; se
o campo aponta para fora do centro. Portanto a expressão vetorial é