Uma esfera não-condutora de raio R possui densidade volumétrica de carga proporcional à distância ao centro: rho=A r para r <= R, onde A é uma constante; rho=0 para r>R. Determine o campo elétrico E(r) externo à distribuição de carga e esquematize E, em função de r.
© E ext =(AR^4 / 4 varepsilon0)(1 / r^2).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma esfera não-condutora de raio Phi = oint Ecdot dA = Qrm intvarepsilon0, com densidade de carga volumétrica
para e zero fora. A gente precisa achar o campo elétrico na região externa ( ) e depois desenhar como ele varia com .
Conteúdo: vamos usar a Lei de Gauss para distribuições esféricas. Precisamos saber como calcular carga total a partir de e aplicar

Passo 2

Primeiro, vamos achar a carga total dQ = rho(r'),dV = A,r';l(4pi r'^2,dr'r) =4pi A,r'^3,dr' dentro da esfera de raio Qrm int=integral0^R 4pi A,r'^3,dr' =4pi A;R^44 =pi A,R^4 .
A densidade é , então
Integrando de a :

Passo 3

Agora aplicamos a Lei de Gauss para Phi = E(r)cdot 4pi r^2 . Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio E(r),4pi r^2 = Qrm intvarepsilon0 = pi A,R^4varepsilon0 .
O fluxo é
e, pela lei de Gauss,

Passo 4

Basta isolar E(r) =pi A,R^44pivarepsilon0,r^2 =A,R^44,varepsilon0;1r^2 :
Isso vale para todo . Para esquematizar, basta lembrar que : o gráfico cai bem rápido conforme a gente afasta do centro.

Resposta

boxedErm ext(r)=A,R^44,varepsilon0,1r^2 (direção radial para fora, para r>R) çã

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