Uma esfera não-condutora de raio R=0 , 1 m tem uma densidade volumétrica de carga uniforme rho=2 , 0 n C / m^3. O módulo do campo elétrico em r=2 R é 1 , 8 8 5 N / C. Determine o módulo do campo elétrico em r=0 , 5 R.

Passo 1

Beleza, lá vai o resumo: temos uma esfera não condutora de raio
R = 0,1 m
com densidade volumétrica de carga uniforme
rho = 2,0 nC/m^3 ;=;2,0times10^-9,C/m^3
Eles já calcularam (ou te deram) que o campo elétrico em
r = 2R
vale
E(2R)=1,885 N/C
O que a gente quer agora é achar o módulo do campo em
r = 0,5,R
Conteúdo: usar a Lei de Gauss para distribuições volumétricas uniformes. Vamos precisar de:
• Lei de Gauss:
• Como calcular a carga interna até uma certa : .

Passo 2

A Lei de Gauss diz que, para uma superfície esférica de raio E(r),4pi r^2 ;=;Qrm intvarepsilon0 ,
Qrm int = rho;l(tfrac43pi r^3r)
Aqui é a carga que está dentro dessa esfera de raio .
Como a densidade é uniforme,
Vamos usar isso tanto para dentro da esfera ( ) quanto para fora ( ), mas como , só vamos precisar da parte “dentro”.

Passo 3

Para E(r),4pi r^2 = rho,l(tfrac43pi r^3r)varepsilon0 ;;Longrightarrow;; E(r) = rho,r3,varepsilon0 , substituindo na Lei de Gauss:
Isso é uma fórmula padrão: dentro de uma esfera uniformemente carregada, o campo cresce linearmente com .

Passo 4

Agora é só pôr E(0,5R) ;=; rho,(0,5R)3,varepsilon0 ;=; rho,R6,varepsilon0 :
E(2R) = 14pivarepsilon0,Qrm total(2R)^2 = rho,R12,varepsilon0
Mas observe que, para fora da esfera, em E(0,5R) ;=; 2,E(2R) , a gente teria
E(0,5R) = 2 times 1,885 = 3,77 N/C
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Como nos deram , temos

Resposta

O módulo do campo elétrico em boxed3,77 N/C é

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