Uma esfera não condutora sólida de raio a, tem uma densidade uniforme de carga rho e uma carga total Q. Concêntrica a esta esfera está uma casca condutora, que não está carregada, com raio interno b e raio externo C.
Calcule o potencial eletrostático nas regiões em que r e r>c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera sólida não condutora com raio $ a $ e densidade de carga uniforme $ \rho $, dando uma carga total $ Q $. Concêntrica a essa esfera, tem uma casca condutora sem carga, com raio interno $ b $ e raio externo $ c $. Nosso objetivo é calcular o potencial eletrostático em quatro regiões diferentes: quando $ r < a $, $ a < r < b $, $ b < r < c $ e $ r > c $.
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em cada região e depois integrar o campo para achar o potencial. Também vamos considerar as propriedades das condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as cargas se distribuem nessas estruturas. A esfera não condutora tem uma carga total $ Q $ distribuída uniformemente. A casca condutora, por ser inicialmente neutra, vai ter cargas induzidas devido à presença da esfera interna.
Por causa da simetria esférica, as cargas vão se distribuir uniformemente nas superfícies internas e externas da casca. Vamos chamar $ Q_{in} $ a carga induzida na superfície interna da casca e $ Q_{out} $ a carga na superfície externa.

Passo 3

Como a casca condutora está neutra no total, as cargas induzidas devem satisfazer:
Qin + Qout = 0
Além disso, pela Lei de Gauss, o campo elétrico dentro do material condutor ($ b < r < c $) é zero. Isso implica que a carga na superfície interna da casca deve ser igual e oposta à carga presente na esfera interna para cancelar o campo dentro do condutor:
b < r < c
Qin = -Q
Então, a casca tem uma carga $ -Q $ na superfície interna e $ +Q $ na superfície externa.

Passo 4

Agora, vamos determinar o campo elétrico $ E® $ em cada região usando a Lei de Gauss:
  1. Para $ r < a $: Dentro da esfera não condutora, a carga está distribuída uniformemente. O campo elétrico é dado por:
E(r)
  1. Para $ a < r < b $: Nessa região, estamos entre a esfera carregada e a casca condutora. O campo elétrico é:
r < a
  1. Para $ b < r < c $: Dentro do condutor, o campo elétrico é zero:
E(r) = Q4pivarepsilon0 a^3 cdot r
  1. Para $ r > c $: Fora da casca condutora, a carga total efetiva é $ Q + Q_{out} = Q + (-Q) = 0 $. Então, o campo elétrico é zero:
a < r < b

Passo 5

Com o campo elétrico conhecido em cada região, podemos encontrar o potencial elétrico $ V® $ integrando o campo. Lembrando que:
V(r)
Vamos escolher $ V(\infty) = 0 $ como referência.
  1. Para $ r > c $:
V(r) = -integralinfty^r E(r') , dr' (já que $ E® = 0 $ nessa região)
  1. Para $ b < r < c $:
    Como $ E® = 0 V(infty) = 0 éí r = c $):
r > c
  1. Para $ a < r < b $:
V(r) = 0
  1. Para $ r < a $:
E(r) = 0
b < r < c
Integrando:
E(r) = 0
r = c
V(r) = V(c) = 0
a < r < b

Resposta

O potencial eletrostático $ V® $ nas diferentes regiões é dado por:
V(r)

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