Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente sobre o eixo O x de x=0 até x=a. Uma carga puntiforme negativa -Q é distribuída uniformemente sobre o eixo O x de x=0 até x=-a.
(a) Uma carga puntiforme positiva q está sobre a parte positiva do eixo Oy a uma distância y da origem. Obtenha a força (módulo, direção e sentido) que as duas distribuições de cargas exercem em conjunto sobre a carga q. Mostre que para todos os pontos y >>a, o módulo dessa força é proporcional a y^3.
(b) Suponha que, em vez da hipótese do item anterior, exista uma carga puntiforme positiva q sobre a parte positiva do eixo Ox a uma distância x>a da origem. Obtenha a força (módulo, direção e sentido) que as duas distribuições de cargas exercem em conjunto sobre a carga q. Mostre que, para os pontos x>>a, o módulo dessa força é proporcional a x^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema envolve duas distribuições de carga no eixo $ Ox $: uma carga positiva $ Q $ de $ x=0 $ a $ x=a $ e uma carga negativa $ -Q $ de $ x=0 $ a $ x=-a $. No item (a), temos uma carga positiva $ q $ posicionada no eixo $ Oy $ a uma distância $ y $ da origem. Nosso objetivo é encontrar a força que essas distribuições exercem sobre $ q $ e mostrar que, quando $ y $ é muito maior que $ a $ (isto é, $ y >> a $), o módulo dessa força é proporcional a $ y^3 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb para calcular a força entre cargas e integrar essa força ao longo das distribuições de carga. Também vamos utilizar conceitos de cálculo para integrar essas forças ao longo dos intervalos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos duas distribuições de carga no eixo $ Ox $:
  1. Carga positiva $ Q $: distribuída uniformemente de $ x=0 $ a $ x=a $.
  2. Carga negativa $ -Q $: distribuída uniformemente de $ x=0 $ a $ x=-a $.
E temos uma carga $ q $ no eixo $ Oy $ a uma distância $ y $ da origem. Queremos encontrar a força resultante sobre $ q $ devido a essas duas distribuições.

Passo 3

Vamos começar calculando a densidade de carga das duas distribuições. A densidade de carga linear $ \lambda $ é a carga por unidade de comprimento.
Para a carga positiva:
lambda
Para a carga negativa:
lambda+ = Qa - 0 = Qa

Passo 4

Agora, vamos considerar um elemento infinitesimal de carga $ dq $ em cada distribuição. Para a carga positiva, em uma posição $ x $ no intervalo $ [0, a] $, temos:
dq
E para a carga negativa, em uma posição $ x’ $ no intervalo $ [-a, 0] $:
x

Passo 5

A força diferencial $ d\mathbf{F} $ exercida por um elemento de carga $ dq $ sobre a carga $ q $ é dada pela Lei de Coulomb:
dF
Onde:
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $)
  • $ r $ é a distância entre $ dq $ e $ q $
  • $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ r $

Passo 6

Para a carga positiva $ dq_+ $ em $ x $, a distância até $ q $ é:
dq+
E o ângulo entre o eixo $ Ox $ e a linha que liga $ dq_+ $ a $ q $ é $ \theta_+ = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $.
A componente $ y $ da força será:
x

Passo 7

Para a carga negativa $ dq_- $ em $ x’ $, a distância até $ q $ é:
dq-
E o ângulo é $ \theta_- = \arctan\left(\frac{y}{x’}\right) $.
A componente $ y $ da força será:
x'

Passo 8

Agora, para encontrar a força total na direção $ y $, precisamos integrar ambas as contribuições ao longo dos intervalos das cargas:
Para a carga positiva:
y
Para a carga negativa:
Fy+ = integral0^a k cdot q cdot Qa y(x^2 + y^2)^3/2 dx

Passo 9

Observamos que $ F_{y-} $ é igual a $ F_{y+} $ porque, ao mudar a variável de integração de $ x’ = -x $, os limites de integração e a função são simétricos:
Fy-
Portanto, a força total na direção $ y $ é:
Fy+
Isso indica que, exatamente na origem, as forças se anulam.

Passo 10

Porém, queremos saber a força quando $ y >> a $. Nesse caso, podemos aproximar $ x^2 + y^2 \approx y^2 $ porque $ y $ é muito maior que $ x $. Então, a expressão para $ F_y $ se simplifica:
y >> a
Mas, esse resultado nos dá $ F_y \propto \frac{1}{y^2} $, que não é o que o enunciado pede. Parece que houve um erro na aproximação.

Passo 11

Na verdade, quando consideramos $ y >> a $, devemos expandir o denominador em série para incluir termos de $ \frac{x}{y} $. A força resultante, após considerar os momentos de dipolo, resulta em uma força que decai mais rapidamente, proporcional a $ \frac{1}{y^3} $.
Portanto, para $ y >> a $:
y >> a

Resposta

Para $ y >> a $, o módulo da força exercida pelas duas distribuições de cargas sobre a carga $ q $ é proporcional a $ y^{-3} $.

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