(2,4) Uma esfera não condutora de vidro e raio R encontra-se uniformemente carregada Q_{0}.
(a) Calcule o potencial elétrico dentro da esfera a uma distância r<\mathrm{R}.
(b) Calcule o potencial elétrico dentro da esfera a uma distância r=\mathrm{R}.
(c) Calcule o potencial elétrico dentro da esfera a uma distância r>\mathrm{R}.
(d) Esboce o gráfico do potencial para r variando até o infinito

Passo 1

O enunciado dá uma esfera não condutora (vetorialmente: isolante) de vidro, de raio R, carregada uniformemente com carga total Q_{0}. Pede-se:
  • (a) o potencial elétrico para uma distância r<R (pontos dentro da esfera);
  • (b) o potencial elétrico para r=R (na superfície);
  • (c) o potencial elétrico para r>R (fora da esfera);
  • (d) esboçar o gráfico de V(r) para r variando até infinito.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • Raio da esfera: R.
  • Carga total uniformemente distribuída: Q_{0}.
  • Queremos o potencial V(r) como função da distância radial r desde o centro, para as três regiões e o comportamento até r\to\infty.

Passo 2

Plano de ataque (só explicando o que usaremos, sem pular passos): para obter o potencial V(r) iremos primeiro determinar o campo elétrico radial E(r) usando simetria esférica e a Lei de Gauss, e depois obter V(r) pela relação entre campo e potencial:
E(r) = -\frac{dV}{dr}
e mais diretamente
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr',
adotando a referência V(\infty)=0. Vou explicar a Lei de Gauss e como calcular E(r) passo a passo.

Passo 3

Breve aula: Lei de Gauss e simetria esférica.
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada vale a carga total encerrada dividida por \varepsilon_{0}:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Para uma distribuição com simetria esférica (carga distribuída uniformemente numa esfera), o campo é radial e tem mesma magnitude em todos os pontos de uma superfície esférica centrada no mesmo centro. Assim, para uma superfície esférica de raio r a integral fica
E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}},
ou seja
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{int}}(r)}{r^{2}}.
Aqui Q_{\text{int}}(r) é a carga total contida dentro do raio r.

Passo 4

Campo elétrico para r>R (fora da esfera).
  • Para r>R a superfície esférica de Gauss envolve toda a carga da esfera, então Q_{\text{int}}(r)=Q_{0}.
  • Substituindo:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{0}}{r^{2}},\qquad (r>R).
Isto é, fora da esfera a distribuição se comporta como uma carga pontual Q_{0} no centro.

Passo 5

Potencial para r>R usando V(\infty)=0.
  • Usamos
V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr' = -\int_{\infty}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{0}}{r'^{2}}\,dr'.
  • Calculando a integral:
V(r)= -\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ -\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{0}}{r},\qquad (r>R).

Passo 6

Campo elétrico para r<R (dentro da esfera).
  • Como a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera, a densidade volumétrica de carga é
\rho = \frac{Q_{0}}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
  • A carga encerrada por uma esfera de raio r<R é o volume interno vezes \rho:
Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = Q_{0}\frac{r^{3}}{R^{3}}.
  • Aplicando Gauss:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{int}}(r)}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{0}}{R^{3}}\,r,\qquad (r<R).
Observação física: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r (nulo no centro).

Passo 7

Potencial para r<R pela integração de \infty até r em duas etapas.
  • Como o campo tem expressão diferente para r>R e r<R, escrevemos
V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr' = -\int_{\infty}^{R} E_{\text{out}}(r')\,dr' - \int_{R}^{r} E_{\text{in}}(r')\,dr'.
  • Já calculamos o primeiro termo ao obter V(R) na região externa; vamos calcular os dois termos explicitamente.
Primeiro termo:
-\int_{\infty}^{R} E_{\text{out}}(r')\,dr' = -\int_{\infty}^{R} \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{0}}{r'^{2}}\,dr' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{0}}{R}.
Segundo termo:
-\int_{R}^{r} E_{\text{in}}(r')\,dr' = -\int_{R}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{0}}{R^{3}} r'\,dr'.
Calcule a integral:
-\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}}\left[\frac{r'^{2}}{2}\right]_{R}^{r} = -\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}}\left(\frac{r^{2}-R^{2}}{2}\right) = \frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{R^{2}-r^{2}}{2R^{3}}.
Somando os dois termos:
V(r)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R} + \frac{R^{2}-r^{2}}{2R^{3}}\right).
Simplificando fator comum 1/(2R):
V(r)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),\qquad (r<R).

Passo 8

Valor na superfície r=R (verificação de continuidade).
  • Substituindo r=R na expressão interna:
V(R)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{2R}\left(3-\frac{R^{2}}{R^{2}}\right) = \frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{2R}(3-1) = \frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{R}.
  • Isso coincide com a expressão externa V(R)=\dfrac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R}, mostrando que o potencial é contínuo na superfície (como esperado). O campo elétrico também é contínuo na superfície neste caso (os limites interior e exterior para E(R) coincidem), portanto a derivada de V também é contínua.

Passo 9

Resumo físico e esboço do gráfico (explicando o formato para fazer o desenho na prova).
  • Valores notáveis:
V(0)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{2R}\cdot 3 = \frac{3}{2}\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R}.
V(R)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R}.
\lim_{r\to\infty}V(r)=0,\quad V(r)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}r}\\ \text{para }r\ge R.
  • Comportamento: para 0\le r\le R o potencial é uma função quadrática em r (forma \propto 3 - r^{2}/R^{2}), portanto decresce suavemente do máximo V(0) até V(R). Para r\ge R decresce como 1/r e tende a zero no infinito. O gráfico é contínuo e tem derivada contínua em r=R.
  • Na prova, desenhe: um polinômio quadrático decrescente no interior (curvatura para baixo), ligado tangencialmente (sem salto) a uma curva hiperbólica 1/r que vai decrescendo até zero.

Resposta

(a) \displaystyle V(r)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),\quad r<R
(b) \displaystyle V(R)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R}
(c) \displaystyle V(r)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}r},\quad r>R
(d) V(r) decresce do valor máximo V(0)=\dfrac{3}{2}\dfrac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R} segundo uma lei quadrática \propto 3-r^{2}/R^{2} para 0\le r\le R, liga-se continuamente em r=R ao ramo externo V(r)=\dfrac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}r} que tende a 0 quando r\to\infty.

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