(2,4) Uma esfera não condutora de vidro e raio R encontra-se uniformemente carregada
.
(a) Calcule o potencial elétrico dentro da esfera a uma distância
.
(b) Calcule o potencial elétrico dentro da esfera a uma distância
.
(c) Calcule o potencial elétrico dentro da esfera a uma distância
.
(d) Esboce o gráfico do potencial para
variando até o infinito
(a) Calcule o potencial elétrico dentro da esfera a uma distância
(b) Calcule o potencial elétrico dentro da esfera a uma distância
(c) Calcule o potencial elétrico dentro da esfera a uma distância
(d) Esboce o gráfico do potencial para
Passo 1
O enunciado dá uma esfera não condutora (vetorialmente: isolante) de vidro, de raio
, carregada uniformemente com carga total
. Pede-se:
- (a) o potencial elétrico para uma distância
(pontos dentro da esfera); - (b) o potencial elétrico para
(na superfície); - (c) o potencial elétrico para
(fora da esfera); - (d) esboçar o gráfico de
para variando até infinito.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
- Raio da esfera:
. - Carga total uniformemente distribuída:
. - Queremos o potencial
como função da distância radial desde o centro, para as três regiões e o comportamento até .
Passo 2
Plano de ataque (só explicando o que usaremos, sem pular passos): para obter o potencial
iremos primeiro determinar o campo elétrico radial
usando simetria esférica e a Lei de Gauss, e depois obter
pela relação entre campo e potencial:
e mais diretamente
adotando a referência
. Vou explicar a Lei de Gauss e como calcular
passo a passo.
Passo 3
Breve aula: Lei de Gauss e simetria esférica.
- A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada vale a carga total encerrada dividida por
:
- Para uma distribuição com simetria esférica (carga distribuída uniformemente numa esfera), o campo é radial e tem mesma magnitude em todos os pontos de uma superfície esférica centrada no mesmo centro. Assim, para uma superfície esférica de raio
a integral fica
ou seja
Aqui
é a carga total contida dentro do raio
.
Passo 4
Campo elétrico para
(fora da esfera).
- Para
a superfície esférica de Gauss envolve toda a carga da esfera, então . - Substituindo:
Isto é, fora da esfera a distribuição se comporta como uma carga pontual
no centro.
Passo 5
Potencial para
usando
.
- Usamos
- Calculando a integral:
Passo 6
Campo elétrico para
(dentro da esfera).
- Como a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera, a densidade volumétrica de carga é
- A carga encerrada por uma esfera de raio
é o volume interno vezes :
- Aplicando Gauss:
Observação física: dentro da esfera o campo cresce linearmente com
(nulo no centro).
Passo 7
Potencial para
pela integração de
até
em duas etapas.
- Como o campo tem expressão diferente para
e , escrevemos
- Já calculamos o primeiro termo ao obter
na região externa; vamos calcular os dois termos explicitamente.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Calcule a integral:
Somando os dois termos:
Simplificando fator comum
:
Passo 8
Valor na superfície
(verificação de continuidade).
- Substituindo
na expressão interna:
- Isso coincide com a expressão externa
, mostrando que o potencial é contínuo na superfície (como esperado). O campo elétrico também é contínuo na superfície neste caso (os limites interior e exterior para coincidem), portanto a derivada de também é contínua.
Passo 9
Resumo físico e esboço do gráfico (explicando o formato para fazer o desenho na prova).
- Valores notáveis:
- Comportamento: para
o potencial é uma função quadrática em (forma ), portanto decresce suavemente do máximo até . Para decresce como e tende a zero no infinito. O gráfico é contínuo e tem derivada contínua em . - Na prova, desenhe: um polinômio quadrático decrescente no interior (curvatura para baixo), ligado tangencialmente (sem salto) a uma curva hiperbólica
que vai decrescendo até zero.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
decresce do valor máximo
segundo uma lei quadrática
para
, liga-se continuamente em
ao ramo externo
que tende a
quando
.