(1,6) Um mol de cobre, após passar por um processo de oxidação em solução aquosa, entra numa região onde existe um campo elétrico devido a duas placas paralelas com densidade superficial de carga igual \delta=8,85 \times 10^{-24} \mathrm{C} / \mathrm{cm}^{2}.
(a) Calcule a diferença de potencial entre as placas.
(b) Calcule o tempo que essa espécie de cobre leva para atingir uma das placas carregada, sabendo que sua velocidade no
instante em que ela entra nessa região é normal às linhas de campo e tem módulo v.
Obs: desconsidere a ação da gravidade

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações fornecidas (peguei os comprimentos da imagem enviada).
O enunciado pede:
  • (a) Calcular a diferença de potencial entre as placas.
  • (b) Calcular o tempo que a espécie de cobre leva para atingir uma das placas, sabendo que sua velocidade ao entrar na região é normal às linhas de campo e tem módulo v. Desprezar gravidade.
Dados fornecidos:
  • Densidade superficial de carga das placas: \delta = 8{,}85\times10^{-24}\\ \mathrm{C/cm}^2.
  • Estado do cobre: foi oxidado em solução aquosa (assumo a forma iônica usual \mathrm{Cu}^{2+}; isto implica carga por íon q=2e. Se a oxidação fosse diferente, trocar 2 pelo número de cargas apropriado).
  • Constantes que usarei (valores numéricos):
    • Constante dielétrica do vácuo: \varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2).
    • Carga elementar: e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • Número de Avogadro: N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
    • Massa molar do cobre: M_{\mathrm{Cu}} = 63{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Peguei da imagem:
    • separação entre as placas: 30\\ \mathrm{mm} = 0{,}03\\ \mathrm{m};
    • posição horizontal inicial do íon: está a 18\\ \mathrm{mm} = 0{,}018\\ \mathrm{m} da placa esquerda. Logo a distância horizontal até a placa direita é 30-18=12\\ \mathrm{mm}=0{,}012\\ \mathrm{m}.
  • Observação sobre movimento: a velocidade inicial é perpendicular às linhas de campo (ou seja, perpendicular ao eixo que liga as placas). Isso significa que a componente de velocidade na direção do campo é inicialmente zero; a aceleração na direção do campo é uniforme e dada pela força elétrica.

Passo 2

Entender como obter o campo elétrico entre placas a partir da densidade superficial de carga e como relacionar campo à diferença de potencial.
Conceito e fórmula úteis:
  • Para placas paralelas grandes (aproximação de placas infinitas) com densidade superficial de carga \sigma (numa placa positiva) e outra com -\sigma, o campo elétrico uniforme entre as placas vale
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
Explicação simples: uma única placa infinita produz E=\sigma/(2\varepsilon_0) em cada lado; com duas placas de sinais opostos o campo entre elas soma, dando \sigma/\varepsilon_0. Aqui \sigma tem unidades \mathrm{C/m}^2 e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • A diferença de potencial entre as placas separadas por distância d (campo uniforme) é
\Delta V = E\,d.

Passo 3

Converter a densidade superficial dada para unidades SI e calcular o campo E.
Conversão:
\delta = 8{,}85\times10^{-24}\\ \mathrm{C/cm}^2.
Como 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2, multiplicar por 10^4 para passar para \mathrm{C/m}^2:
\sigma = \delta\times 10^{4} = 8{,}85\times10^{-24}\times10^{4} = 8{,}85\times10^{-20}\\ \mathrm{C/m}^2.
Agora o campo entre as placas:
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{8{,}85\times10^{-20}}{8{,}85\times10^{-12}}=10^{-8}\\ \mathrm{N/C}.
(Observe que as constantes \,8{,}85 se cancelam deixando 10^{-8}.)

Passo 4

Calcular a diferença de potencial \Delta V entre as placas (parte (a)).
Sabendo d=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m} e E=10^{-8}\\ \mathrm{N/C},
\Delta V = E\,d = 10^{-8}\times0{,}03 = 3{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{V}.
Portanto a diferença de potencial entre as placas é muito pequena: \,3{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Preparar para a parte (b): determinar a aceleração horizontal do íon e o tempo para percorrer a distância até a placa.
Princípio físico:
  • Força elétrica sobre um íon de carga q em campo E: F=qE.
  • Aceleração resultante (segunda lei de Newton): a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{qE}{m}, onde m é a massa do íon.
  • No problema, a velocidade inicial na direção do campo é zero (pois a velocidade inicial é normal às linhas de campo). Com aceleração constante e deslocamento horizontal inicial zero, o deslocamento d até a placa é dado por
d = \tfrac{1}{2} a t^2 \quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2d}{a}}.
Agora precisamos de q e m por íon:
  • Assumindo \mathrm{Cu}^{2+}: q = 2e = 2\times1{,}602\times10^{-19} = 3{,}204\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Massa de um átomo/íon de cobre:
m=\frac{M_{\mathrm{Cu}}}{N_A}=\frac{63{,}5\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}}.
Calcule:
m \approx \frac{63{,}5\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}} =1{,}055\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular a aceleração a e em seguida o tempo t até a placa mais próxima (a placa negativa à direita, que está a d=12\\ \mathrm{mm}=0{,}012\\ \mathrm{m} do íon).
Aceleração:
a=\frac{qE}{m}=\frac{3{,}204\times10^{-19}\times 10^{-8}}{1{,}055\times10^{-25}} =\frac{3{,}204\times10^{-27}}{1{,}055\times10^{-25}} \approx 0{,}0304\\ \mathrm{m/s^2}.
Tempo para percorrer d=0{,}012\\ \mathrm{m} com v_{0,x}=0:
t=\sqrt{\frac{2d}{a}}=\sqrt{\frac{2\times0{,}012}{0{,}0304}} =\sqrt{\frac{0{,}024}{0{,}0304}} \approx\sqrt{0{,}7895} \approx 0{,}89\\ \mathrm{s}.
Observações importantes e didáticas:
  • O tempo calculado não depende do componente vertical da velocidade v. Isso ocorre porque o movimento horizontal (direção do campo) e vertical são independentes: o campo só acelera horizontalmente e a velocidade inicial nessa direção é zero. Assim, o tempo até atingir a placa é determinado apenas pela aceleração horizontal e pela distância horizontal.
  • Usei a massa de um único átomo/íon (obtida a partir da massa molar dividida por N_A). O fato de o enunciado mencionar “um mol de cobre” não altera o tempo que cada íon demora para atingir a placa; todos os íons idênticos têm a mesma aceleração e, portanto, o mesmo tempo. Se fosse pedido o fluxo de carga ou corrente, aí o número de íons (um mol) importaria.

Resposta

(a) \Delta V = 3{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{V}
(b) t \approx 0{,}89\\ \mathrm{s}

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