Uma esfera oca de alumínio, com um aquecedor elétrico no centro, é usada em testes para determinar a condutividade térmica de materiais isolantes. Os raios interno e externo da esfera são 0,15 e 0,18 \mathrm{~m}, respectivamente, e os testes são realizados em condições de regime estacionário com a superfície interna do alumínio mantida a 250^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{Em} um teste específico, uma casca esférica de isolante é moldada sobre a superfície externa da esfera até uma espessura de 0,12 \mathrm{~m}. O sistema encontra-se em uma sala na qual a temperatura do ar é de 20^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa do isolante é de 30 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). Se 80 W são dissipados pelo aquecedor em condições de regime estacionário, qual é a condutividade térmica do isolante?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar todos os dados numéricos e a pergunta claramente):
  • Raio interno da esfera de alumínio: \,r_{\text{int, alum}}=0,15\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo da esfera de alumínio (que é também a superfície sobre a qual o isolante é moldado): \,r_{\text{ext, alum}}=0,18\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do isolante moldado sobre a superfície externa da esfera: 0,12\\ \mathrm{m}.
    Portanto o raio externo do isolante é r_2 = 0,18 + 0,12 = 0,30\\ \mathrm{m}.O raio interno do isolante (superfície de contato com o alumínio) é r_1 = 0,18\\ \mathrm{m}.
  • Em regime estacionário, a superfície interna do alumínio é mantida a \,250^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: \,T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção na superfície externa do isolante: \,h = 30\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Potência dissipada pelo aquecedor em regime estacionário: \,Q = 80\\ \mathrm{W}.
O que a questão pede:
  • Determinar a condutividade térmica do isolante, isto é, encontrar \,k do material isolante, tal que, em regime estacionário, a potência de 80\\ \mathrm{W} seja dissipada para o ar ambiente dadas as condições acima.

Passo 2

Hipóteses e escolha do modelo (explicando por que podemos usá-las):
  • Em problemas desse tipo, o calor sai do interior radialmente e atravessa a camada esférica de isolante até a superfície externa, onde é removido por convecção. Assim temos duas resistências térmicas em série: resistência por condução através da casca esférica de isolante e resistência por convecção na superfície externa.
  • Sobre a temperatura de 250^\circ\mathrm{C},: o enunciado diz que a “superfície interna do alumínio” é mantida a 250^\circ\mathrm{C}. A camada de alumínio é boa condutora (metais têm condutividades grandes) e a sua espessura é pequena (0,03 m). Portanto é típico (e razoável) aproximar que a superfície externa do alumínio, que é o contato com o isolante (isto é, r_1=0,18\\ \mathrm{m}), esteja praticamente à mesma temperatura de 250^\circ\mathrm{C}. Vou adotar essa aproximação para poder relacionar diretamente T(r_1)=250^\circ\mathrm{C} ao isolamento — se a questão exigisse explicitamente a resistência do alumínio, precisaríamos do k do alumínio; como isso não é fornecido, essa aproximação é a usual.
  • Em regime estacionário o fluxo de calor radial é constante e igual à potência Q (desprezando perdas internas).

Passo 3

Relembrando as fórmulas necessárias (aulas rápidas):
  • Condução radial em casca esférica (regime estacionário, condutividade isotrópica constante). Da lei de Fourier para fluxo radial constante q_r e área A(r)=4\pi r^2 tem-se, após integrar, Q = -k\,4\pi r^2 \frac{dT}{dr} \quad\Rightarrow\quad \text{resistência de condução (esférica) entre }r_1\text{ e }r_2:êçãé
R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right).
Explicação breve das variáveis: k é a condutividade do isolante ( \mathrm{W/(m\cdot K)}), r_1 e r_2 são os raios interno e externo da casca de isolamento (em \mathrm{m}), e R_{\text{cond}} tem unidades de \mathrm{K/W}.
  • Convecção na superfície esférica externa: pela lei de Newton do resfriamento, Q = h A (T_{s}-T_\infty),onde A=4\pi r_2^2 é a área externa da esfera de raio r_2. Assim a resistência convectiva é R_{\text{conv}} = \frac{1}{h\,4\pi r_2^2}.
  • As resistências em série somam: R_{\text{total}} = R_{\text{cond}} + R_{\text{conv}}.
  • A relação entre potência, temperaturas e resistência total é Q = \frac{T(r_1)-T_\infty}{R_{\text{total}}}.

Passo 4

Montando a equação para resolver k:
  • Substituindo as expressões de R_{\text{cond}} e R_{\text{conv}}, R_{\text{total}} = \frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right) + \frac{1}{4\pi h r_2^2}.
  • Então Q = \frac{T(r_1)-T_\infty}{R_{\text{total}}} \quad\Rightarrow\quad \frac{T(r_1)-T_\infty}{Q} = R_{\text{total}}.
  • Multiplicando ambos os lados por 4\pi e isolando o termo com 1/k: \frac{1}{k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right) + \frac{1}{h r_2^2} = 4\pi\frac{T(r_1)-T_\infty}{Q}.
  • Logo \frac{1}{k} = \frac{4\pi\displaystyle\frac{T(r_1)-T_\infty}{Q} - \displaystyle\frac{1}{h r_2^2}} {\displaystyle\frac{1}{r_1}-\displaystyle\frac{1}{r_2}}.E então k é o recíproco dessa expressão: k = \left[ \frac{4\pi\displaystyle\frac{T(r_1)-T_\infty}{Q} - \displaystyle\frac{1}{h r_2^2}} {\displaystyle\frac{1}{r_1}-\displaystyle\frac{1}{r_2}} \right]^{-1}.

Passo 5

Substituindo os números (passo a passo, contas feitas sem pular etapas):
  • Primeiro calcule a diferença de temperatura: \Delta T = T(r_1)-T_\infty = 250^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 230\\ \mathrm{K}.
  • Calcule 4\pi\frac{\Delta T}{Q}: 4\pi\frac{\Delta T}{Q} = 4\pi\cdot\frac{230}{80} = 4\pi\cdot 2{,}875 = 11{,}5\pi \approx 36{,}128315.(usei \pi\approx3{,}14159265 para obter o valor numérico).
  • Calcule \dfrac{1}{h r_2^2}: \frac{1}{h r_2^2} = \frac{1}{30\cdot (0,30)^2} = \frac{1}{30\cdot 0,09} = \frac{1}{2{,}7} \approx 0{,}37037037.
  • Subtraindo: 4\pi\frac{\Delta T}{Q} - \frac{1}{h r_2^2} \approx 36{,}128315 - 0{,}37037037 = 35{,}7579446.
  • Calcule \displaystyle\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}: \frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2} = \frac{1}{0,18} - \frac{1}{0,30} = 5{,}5555556 - 3{,}3333333 = 2{,}2222222\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Agora o inverso de k: \frac{1}{k} \approx \frac{35{,}7579446}{2{,}2222222} \approx 16{,}0900751\\ \mathrm{(m\cdot K)/W}.
  • Finalmente: k \approx \frac{1}{16{,}0900751} \approx 0{,}06214\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida de plausibilidade:
  • O valor encontrado, k\approx0{,}062\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, é típico de materiais isolantes (por exemplo, espumas e alguns isolantes cerâmicos têm condutividades da ordem de 10^{-2} a 10^{-1}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}), então o resultado é plausível.
  • Lembrete: a aproximação de considerar a superfície de contato do isolante a 250^\circ\mathrm{C} depende da alta condutividade do alumínio; se fosse necessário maior precisão e se a resistência do alumínio não pudesse ser desprezada, precisaríamos do k do alumínio e incluir a resistência esférica do alumínio na soma de resistências.

Resposta

k \approx 0,062\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}

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