Uma esfera oca de alumínio, com um aquecedor elétrico no centro, é usada em testes para determinar a condutividade térmica de materiais isolantes. Os raios interno e externo da esfera são 0,15 e
, respectivamente, e os testes são realizados em condições de regime estacionário com a superfície interna do alumínio mantida a
um teste específico, uma casca esférica de isolante é moldada sobre a superfície externa da esfera até uma espessura de
. O sistema encontra-se em uma sala na qual a temperatura do ar é de
e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa do isolante é de
. Se 80 W são dissipados pelo aquecedor em condições de regime estacionário, qual é a condutividade térmica do isolante?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar todos os dados numéricos e a pergunta claramente):
- Raio interno da esfera de alumínio:
. - Raio externo da esfera de alumínio (que é também a superfície sobre a qual o isolante é moldado):
. - Espessura do isolante moldado sobre a superfície externa da esfera:
.
Portanto o raio externo do isolante éO raio interno do isolante (superfície de contato com o alumínio) é - Em regime estacionário, a superfície interna do alumínio é mantida a
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de convecção na superfície externa do isolante:
. - Potência dissipada pelo aquecedor em regime estacionário:
.
O que a questão pede:
- Determinar a condutividade térmica do isolante, isto é, encontrar
do material isolante, tal que, em regime estacionário, a potência de seja dissipada para o ar ambiente dadas as condições acima.
Passo 2
Hipóteses e escolha do modelo (explicando por que podemos usá-las):
- Em problemas desse tipo, o calor sai do interior radialmente e atravessa a camada esférica de isolante até a superfície externa, onde é removido por convecção. Assim temos duas resistências térmicas em série: resistência por condução através da casca esférica de isolante e resistência por convecção na superfície externa.
- Sobre a temperatura de 250^\circ\mathrm{C},: o enunciado diz que a “superfície interna do alumínio” é mantida a
. A camada de alumínio é boa condutora (metais têm condutividades grandes) e a sua espessura é pequena (0,03 m). Portanto é típico (e razoável) aproximar que a superfície externa do alumínio, que é o contato com o isolante (isto é, ), esteja praticamente à mesma temperatura de . Vou adotar essa aproximação para poder relacionar diretamente ao isolamento — se a questão exigisse explicitamente a resistência do alumínio, precisaríamos do do alumínio; como isso não é fornecido, essa aproximação é a usual. - Em regime estacionário o fluxo de calor radial é constante e igual à potência
(desprezando perdas internas).
Passo 3
Relembrando as fórmulas necessárias (aulas rápidas):
- Condução radial em casca esférica (regime estacionário, condutividade isotrópica constante). Da lei de Fourier para fluxo radial constante
e área tem-se, após integrar,
Explicação breve das variáveis:
é a condutividade do isolante (
),
e
são os raios interno e externo da casca de isolamento (em
), e
tem unidades de
.
- Convecção na superfície esférica externa: pela lei de Newton do resfriamento,
onde é a área externa da esfera de raio . Assim a resistência convectiva é - As resistências em série somam:
- A relação entre potência, temperaturas e resistência total é
Passo 4
Montando a equação para resolver
:
- Substituindo as expressões de
e , - Então
- Multiplicando ambos os lados por
e isolando o termo com : - Logo
E então é o recíproco dessa expressão:
Passo 5
Substituindo os números (passo a passo, contas feitas sem pular etapas):
- Primeiro calcule a diferença de temperatura:
- Calcule
: (usei para obter o valor numérico). - Calcule
: - Subtraindo:
- Calcule
: - Agora o inverso de
: - Finalmente:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida de plausibilidade:
- O valor encontrado,
, é típico de materiais isolantes (por exemplo, espumas e alguns isolantes cerâmicos têm condutividades da ordem de a ), então o resultado é plausível. - Lembrete: a aproximação de considerar a superfície de contato do isolante a
depende da alta condutividade do alumínio; se fosse necessário maior precisão e se a resistência do alumínio não pudesse ser desprezada, precisaríamos do do alumínio e incluir a resistência esférica do alumínio na soma de resistências.