Um tanque esférico para armazenar oxigênio líquido no ônibus espacial deve ser construído em aço inoxidável com 0,80 \mathrm{~m} de diâmetro externo e 5 mm de espessura de parede. O ponto de ebulição e o calor latente de vaporização do oxigênio líquido são 90 K e 213 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, respectivamente. O tanque será instalado em um grande compartimento cuja temperatura deve ser mantida em 240 K . Projete um sistema de isolamento térmico que irá manter as perdas de oxigênio devidas à ebulição abaixo de 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{dia}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado (tudo que vamos usar nas contas):
  • Pedido: projetar um sistema de isolamento térmico que mantenha as perdas de oxigênio por ebulição abaixo de 1\\ \mathrm{kg/day}.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro externo do tanque: 0,80\\ \mathrm{m}. Logo o raio externo do tanque é r_{\mathrm{tank,out}}=0,40\\ \mathrm{m}.
    • Espessura da parede de aço inoxidável: t_{\mathrm{aco}}=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
    • Ponto de ebulição do O _2: T_{\mathrm{liq}}=90\\ \mathrm{K}.
    • Calor latente de vaporização: L=213\\ \mathrm{kJ/kg}=213\,000\\ \mathrm{J/kg}.
    • Temperatura ambiente do compartimento: T_{\infty}=240\\ \mathrm{K}.
    • Limite de perda: \dot m_{\max}=1\\ \mathrm{kg/day}.
Anotações úteis que já extraio do enunciado (serão usadas nos passos seguintes):
  • Precisamos transformar a perda máxima de massa em potência térmica máxima admissível (energia por segundo).
  • O tanque é aproximadamente esférico — para resistências térmicas usarei áreas esféricas.
  • O enunciado não especifica tipo de isolamento; vamos avaliar alternativas e justificar a escolha prática (mostrarei por que certos isolantes maciços não servem e por que é necessária uma jaqueta a vácuo com camadas refletoras).

Passo 2

Converter a perda máxima de massa em potência térmica máxima admissível.
  • Energia necessária para vaporizar 1\\ \mathrm{kg} é L=213\,000\\ \mathrm{J}.
  • 1\\ \mathrm{dia}=86\,400\\ \mathrm{s}.
  • Potência máxima admissível \dot Q_{\max} é
\dot Q_{\max}=\frac{L\cdot 1\\ \mathrm{kg}}{86\,400\\ \mathrm{s}}=\frac{213\,000}{86\,400}\\ \mathrm{W}\approx 2{,}47\\ \mathrm{W}.
Comentário: essa potência é muito pequena — apenas \approx 2{,}5\\ \mathrm{W} podendo aquecer todo o tanque. Isso já dá a pista de que um isolamento “maciço” comum dificilmente consegue tanto isolamento; normalmente usa-se jaqueta a vácuo + isolamento refletor (MLI) em aplicações criogênicas.

Passo 3

Testar se isolamento maciço (ex.: espuma com condutividade séria) consegue atingir essa potência — conclusão rápida.
Escolho um isolante típico de baixa condutividade (ex.: espuma rígida) com k_{\mathrm{ins}}\approx 0{,}04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (valor razoável para isolamento comercial). Modelo simplificado esférico (condutivo): resistência condutiva da camada de raio interno r_1 e externo r_2 é
R_{\mathrm{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right).
No limite de camada muito espessa ( r_2\to\infty) a resistência máxima possível pela condução do isolante é
R_{\mathrm{cond,max}}=\frac{1}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r_1}=\frac{1}{4\pi\cdot 0{,}04}\cdot\frac{1}{0{,}4}.
Calculemos:
4\pi\cdot 0{,}04=0{,}16\pi\approx 0{,}50265,
R_{\mathrm{cond,max}} \approx \frac{1}{0{,}50265}\cdot\frac{1}{0{,}4}\approx 1{,}990\cdot 2{,}5 \approx 4{,}98\\ \mathrm{K/W}.
Com essa resistência máxima (impraticável fisicamente, pois exige espessuras enormes), a potência que atravessaria com \Delta T=150\\ \mathrm{K} seria
\dot Q=\frac{150}{4{,}98}\\ \mathrm{W}\approx 30{,}1\\ \mathrm{W},
muito maior que \dot Q_{\max}=2{,}47\\ \mathrm{W}. Conclusão direta: isolamento maciço baseado só em condução (espuma, lã mineral, etc.) não consegue reduzir o fluxo até o nível exigido. Portanto é necessário um esquema que minimize transferência por condução e convecção — isto é, uma jaqueta a vácuo com elementos refletivos (MLI) para reduzir a radiação.

Passo 4

Modelo físico adequado: jaqueta a vácuo + camadas refletoras (MLI). Vamos estimar a troca radiativa entre a superfície externa do tanque e a superfície interna da jaqueta (ambas esféricas concêntricas), e ver quantas camadas refletoras são necessárias.
Primeiro, calor por radiação entre duas superfícies esféricas concêntricas (sem outras camadas) é, para curvas isótropas,
\dot Q_{\mathrm{rad}}=\frac{\sigma A_1\left(T_2^4-T_1^4\right)}{\displaystyle\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{A_1}{A_2}\left(\frac{1}{\varepsilon_2}-1\right)},
onde:
  • \sigma=5{,}67\times 10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)} (constante de Stefan–Boltzmann);
  • A_1=4\pi r_1^2 é a área da superfície interna (superfície do tanque, com r_1=0{,}40\\ \mathrm{m});
  • A_2=4\pi r_2^2 é a área da superfície interna da jaqueta (escolhemos um raio r_2 para a jaqueta);
  • \varepsilon_1,\varepsilon_2 são as emissividades das superfícies (valor entre 0 e 1);
  • T_2 é a temperatura da jaqueta interna (estimo = T_{\infty}=240\\ \mathrm{K} se a jaqueta estiver próxima da temperatura do compartimento externo);
  • T_1=T_{\mathrm{liq}}=90\\ \mathrm{K}.
Escolhas práticas e justificadas:
  • Vamos escolher a jaqueta com raio interno r_2=0{,}45\\ \mathrm{m} (gap de 5\\ \mathrm{cm} entre tanque e jaqueta — espaço suficiente para multilayer e espaçadores).
  • Superfícies polidas/aluminizadas têm emissividade baixa; vamos usar \varepsilon_1=\varepsilon_2=0{,}05 (superfícies metálicas bem polidas/aluminizadas — valor realista para projetar MLI).
  • Calcule A_1:
A_1=4\pi(0{,}40)^2=4\pi\cdot 0{,}16=0{,}64\pi\\ \mathrm{m^2}\approx 2{,}0106\\ \mathrm{m^2}.
  • Calcule razão A_1/A_2=(r_1/r_2)^2=(0{,}40/0{,}45)^2\approx 0{,}790.
Agora calcule o numerador comum:
T_2^4-T_1^4=240^4-90^4.
Valores:
240^4\approx 3{,}31776\times 10^{9},\qquad 90^4\approx 6{,}561\times 10^{7},
T_2^4-T_1^4\approx 3{,}25215\times 10^{9}.
Então
\sigma A_1 (T_2^4-T_1^4)\approx 5{,}67\times 10^{-8}\cdot 2{,}0106\cdot 3{,}25215\times 10^{9}\approx 370{,}3\\ \mathrm{W}.
Denominador da fórmula com \varepsilon_1=\varepsilon_2=0{,}05 é
\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{A_1}{A_2}\left(\frac{1}{\varepsilon_2}-1\right)=\frac{1}{0{,}05}+0{,}790\left(\frac{1}{0{,}05}-1\right)=20+0{,}790(19)=20+15{,}01=35{,}01.
Portanto, sem blindagens intermediárias, a taxa de calor por radiação seria
\dot Q_{\mathrm{rad,\,0shield}}=\frac{370{,}3}{35{,}01}\\ \mathrm{W}\approx 10{,}58\\ \mathrm{W}.
Comentário: isso ainda é bem maior que 2{,}47\\ \mathrm{W}. Logo precisamos de blindagens refletoras adicionais (camadas MLI) dentro da jaqueta.

Passo 5

Como as camadas refletoras (folhas metálicas separadas por espaçadores) reduzem a troca radiativa, usamos uma aproximação prática muito usada em engenharia: se colocarmos N folhas refletoras idealizadas (placas isotérmicas, baixa emissividade) entre as superfícies quente e fria, o fluxo radiativo aproximadamente se reduz por um fator (N+1) em relação ao caso de duas superfícies sem blindagens (isso é uma aproximação útil para estimativas iniciais de projeto quando as áreas das superfícies são semelhantes e as placas têm baixa emissividade). Assim
\dot Q_{\mathrm{rad}}\approx\frac{\dot Q_{\mathrm{rad,\,0shield}}}{N+1}.
Com \dot Q_{\mathrm{rad,\,0shield}}\approx 10{,}58\\ \mathrm{W} precisamos de N tal que \dot Q_{\mathrm{rad}}\le \dot Q_{\max}=2{,}47\\ \mathrm{W}. Então
N+1 \ge \frac{10{,}58}{2{,}47}\approx 4{,}29 \quad\Rightarrow\quad N\gtrsim 3{,}29.
Ou seja, na prática são necessárias pelo menos 4 folhas refletoras intermediárias para ter margem. Para segurança e perdas extras (pequenos vazamentos radiativos, emissividades maiores localmente, suportes condutores, gás residual), escolho projetar com N=5 folhas refletoras (isto é, 5 camadas além das duas superfícies), o que dá:
\dot Q_{\mathrm{rad,\,com\,5}} \approx \frac{10{,}58}{5+1}=\frac{10{,}58}{6}\approx 1{,}76\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Estimativa dos termos adicionais reais que aumentam o fluxo e checagem de margem: condução pelos suportes e condução pelo aço da parede.
  1. Condução pela parede de aço inox (camada metálica de 5\\ \mathrm{mm}).
  • A resistência da parede é muito pequena; usando k_{\mathrm{aco}}\approx 16\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e a fórmula esférica para a parede (raio interno r_{\mathrm{in}}=0{,}40-0{,}005=0{,}395\\ \mathrm{m}, raio externo r_{\mathrm{out}}=0{,}40\\ \mathrm{m}) encontra-se uma resistência R_{\mathrm{aco}} da ordem de 10^{-4}\\ \mathrm{K/W}. Em potência isso é desprezível comparado a alguns watts.
  1. Condução por suportes mecânicos (caso típico):
  • Supondo 3 suportes mecanicamente necessários, cada um com seção transversal A_s=1\\ \mathrm{cm^2}=1\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}, comprimento do gap L_s=0{,}05\\ \mathrm{m} (5 cm), e material isolante tipo G10 com k_s\approx 0{,}3\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, a condutância por suporte é k_s A_s/L_s\approx 0{,}3\cdot 1\times 10^{-4}/0{,}05=6{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{W/K}. Com \Delta T=150\\ \mathrm{K}, potência por suporte \approx 0{,}09\\ \mathrm{W}. Para 3 suportes isso dá \approx 0{,}27\\ \mathrm{W}.
  • Esse valor é pequeno, mas devemos somá-lo ao radiante.
  1. Fluxo total estimado com nosso projeto prático:
\dot Q_{\mathrm{total}}\approx \dot Q_{\mathrm{rad,\,com\,5}}+\dot Q_{\mathrm{suportes}} \approx 1{,}76+0{,}27 \approx 2{,}03\\ \mathrm{W}.
Convertendo para perda de massa por dia:
\dot m = \frac{\dot Q_{\mathrm{total}}\cdot 86\,400}{L}=\frac{2{,}03\cdot 86\,400}{213{,}000}\\ \mathrm{kg/day}\approx 0{,}82\\ \mathrm{kg/day}.
Isso fica abaixo do limite de 1\\ \mathrm{kg/day} com margem razoável.

Passo 7

Projeto recomendado (resumo de elementos construtivos e justificativa):
  • Jaqueta a vácuo concêntrica ao tanque:
    • Espaçamento entre tanque e jaqueta (gap): 5\\ \mathrm{cm} (outra escolha razoável entre 3 e 10\\ \mathrm{cm} também funciona; aqui usamos 5\\ \mathrm{cm} para acomodar camadas MLI e espaçadores).
    • Vácuo no gap: pressão residual muito baixa (meta: melhor que 10^{-3}\\ \mathrm{Pa} / 10^{-5}\\ \mathrm{Torr} idealmente) para minimizar condução por gás; em engenharia de tanques criogênicos recomenda-se <10^{-3}\\ \mathrm{Pa} para MLI eficaz.
  • Multilayer insulation (MLI) dentro do gap:
    • Camadas refletoras: N=5 folhas refletoras (ex.: aluminized Mylar ou metalizadas), separadas por espaçadores de baixa condutividade. Essas 5 camadas além das superfícies interna e externa (total “placas” = 7 superfícies radiantes) reduzem a troca radiativa suficiente.
    • Superfícies metalizadas polidas (tanque e faces do MLI) com baixa emissividade prática \varepsilon\approx 0{,}03\text{–}0{,}07.
  • Suportes mecânicos:
    • Usar 3 suportes de material isolante (G10/epóxi, fibra de vidro) com seção pequena (ex.: 1\\ \mathrm{cm^2}), projetados para minimizar área de contato e comprimento curto, conforme cálculo estimado.
  • Jaqueta externa:
    • A jaqueta pode ser chapa de aço inoxidável fina; sua função é manter vácuo e suportar MLI. O projeto estrutural da jaqueta depende de requisitos mecânicos, mas geometricamente consideramos r_{\mathrm{jaqueta,int}}=0{,}45\\ \mathrm{m}.
  • Resultado estimado:
    • Fluxo térmico total estimado \dot Q_{\mathrm{total}}\approx 2{,}03\\ \mathrm{W}.
    • Perda de oxigênio prevista \dot m\approx 0{,}82\\ \mathrm{kg/day} < 1\\ \mathrm{kg/day}.

Resposta

Jaqueta a vácuo com gap de 5{,}0\\ \mathrm{cm}, nível de vácuo <10^{-3}\\ \mathrm{Pa}, e N=5 camadas refletoras (MLI, ex.: aluminized Mylar) entre tanque e jaqueta; 3 suportes de baixa condutividade (ex.: G10, 1\\ \mathrm{cm^2} cada). Potência de vazamento estimada \dot Q_{\mathrm{total}}\approx 2{,}03\\ \mathrm{W}, correspondente a \dot m\approx 0{,}82\\ \mathrm{kg/day} (atende ao requisito de <1\\ \mathrm{kg/day}).

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