Um tanque esférico para armazenar oxigênio líquido no ônibus espacial deve ser construído em aço inoxidável com
de diâmetro externo e 5 mm de espessura de parede. O ponto de ebulição e o calor latente de vaporização do oxigênio líquido são 90 K e
, respectivamente. O tanque será instalado em um grande compartimento cuja temperatura deve ser mantida em 240 K . Projete um sistema de isolamento térmico que irá manter as perdas de oxigênio devidas à ebulição abaixo de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado (tudo que vamos usar nas contas):
- Pedido: projetar um sistema de isolamento térmico que mantenha as perdas de oxigênio por ebulição abaixo de
. - Dados fornecidos:
- Diâmetro externo do tanque:
. Logo o raio externo do tanque é . - Espessura da parede de aço inoxidável:
. - Ponto de ebulição do O
: . - Calor latente de vaporização:
. - Temperatura ambiente do compartimento:
. - Limite de perda:
.
- Diâmetro externo do tanque:
Anotações úteis que já extraio do enunciado (serão usadas nos passos seguintes):
- Precisamos transformar a perda máxima de massa em potência térmica máxima admissível (energia por segundo).
- O tanque é aproximadamente esférico — para resistências térmicas usarei áreas esféricas.
- O enunciado não especifica tipo de isolamento; vamos avaliar alternativas e justificar a escolha prática (mostrarei por que certos isolantes maciços não servem e por que é necessária uma jaqueta a vácuo com camadas refletoras).
Passo 2
Converter a perda máxima de massa em potência térmica máxima admissível.
- Energia necessária para vaporizar
é . -
. - Potência máxima admissível
é
Comentário: essa potência é muito pequena — apenas
podendo aquecer todo o tanque. Isso já dá a pista de que um isolamento “maciço” comum dificilmente consegue tanto isolamento; normalmente usa-se jaqueta a vácuo + isolamento refletor (MLI) em aplicações criogênicas.
Passo 3
Testar se isolamento maciço (ex.: espuma com condutividade séria) consegue atingir essa potência — conclusão rápida.
Escolho um isolante típico de baixa condutividade (ex.: espuma rígida) com
(valor razoável para isolamento comercial). Modelo simplificado esférico (condutivo): resistência condutiva da camada de raio interno
e externo
é
No limite de camada muito espessa (
) a resistência máxima possível pela condução do isolante é
Calculemos:
Com essa resistência máxima (impraticável fisicamente, pois exige espessuras enormes), a potência que atravessaria com
seria
muito maior que
. Conclusão direta: isolamento maciço baseado só em condução (espuma, lã mineral, etc.) não consegue reduzir o fluxo até o nível exigido. Portanto é necessário um esquema que minimize transferência por condução e convecção — isto é, uma jaqueta a vácuo com elementos refletivos (MLI) para reduzir a radiação.
Passo 4
Modelo físico adequado: jaqueta a vácuo + camadas refletoras (MLI). Vamos estimar a troca radiativa entre a superfície externa do tanque e a superfície interna da jaqueta (ambas esféricas concêntricas), e ver quantas camadas refletoras são necessárias.
Primeiro, calor por radiação entre duas superfícies esféricas concêntricas (sem outras camadas) é, para curvas isótropas,
onde:
-
(constante de Stefan–Boltzmann); -
é a área da superfície interna (superfície do tanque, com ); -
é a área da superfície interna da jaqueta (escolhemos um raio para a jaqueta); -
são as emissividades das superfícies (valor entre 0 e 1); -
é a temperatura da jaqueta interna (estimo = se a jaqueta estiver próxima da temperatura do compartimento externo); -
.
Escolhas práticas e justificadas:
- Vamos escolher a jaqueta com raio interno
(gap de entre tanque e jaqueta — espaço suficiente para multilayer e espaçadores). - Superfícies polidas/aluminizadas têm emissividade baixa; vamos usar
(superfícies metálicas bem polidas/aluminizadas — valor realista para projetar MLI). - Calcule
:
- Calcule razão
.
Agora calcule o numerador comum:
Valores:
Então
Denominador da fórmula com
é
Portanto, sem blindagens intermediárias, a taxa de calor por radiação seria
Comentário: isso ainda é bem maior que
. Logo precisamos de blindagens refletoras adicionais (camadas MLI) dentro da jaqueta.
Passo 5
Como as camadas refletoras (folhas metálicas separadas por espaçadores) reduzem a troca radiativa, usamos uma aproximação prática muito usada em engenharia: se colocarmos
folhas refletoras idealizadas (placas isotérmicas, baixa emissividade) entre as superfícies quente e fria, o fluxo radiativo aproximadamente se reduz por um fator
em relação ao caso de duas superfícies sem blindagens (isso é uma aproximação útil para estimativas iniciais de projeto quando as áreas das superfícies são semelhantes e as placas têm baixa emissividade). Assim
Com
precisamos de
tal que
. Então
Ou seja, na prática são necessárias pelo menos 4 folhas refletoras intermediárias para ter margem. Para segurança e perdas extras (pequenos vazamentos radiativos, emissividades maiores localmente, suportes condutores, gás residual), escolho projetar com
folhas refletoras (isto é, 5 camadas além das duas superfícies), o que dá:
Passo 6
Estimativa dos termos adicionais reais que aumentam o fluxo e checagem de margem: condução pelos suportes e condução pelo aço da parede.
- Condução pela parede de aço inox (camada metálica de
).
- A resistência da parede é muito pequena; usando
e a fórmula esférica para a parede (raio interno , raio externo ) encontra-se uma resistência da ordem de . Em potência isso é desprezível comparado a alguns watts.
- Condução por suportes mecânicos (caso típico):
- Supondo 3 suportes mecanicamente necessários, cada um com seção transversal
, comprimento do gap (5 cm), e material isolante tipo G10 com , a condutância por suporte é . Com , potência por suporte . Para 3 suportes isso dá . - Esse valor é pequeno, mas devemos somá-lo ao radiante.
- Fluxo total estimado com nosso projeto prático:
Convertendo para perda de massa por dia:
Isso fica abaixo do limite de
com margem razoável.
Passo 7
Projeto recomendado (resumo de elementos construtivos e justificativa):
- Jaqueta a vácuo concêntrica ao tanque:
- Espaçamento entre tanque e jaqueta (gap):
(outra escolha razoável entre e também funciona; aqui usamos para acomodar camadas MLI e espaçadores). - Vácuo no gap: pressão residual muito baixa (meta: melhor que
/ idealmente) para minimizar condução por gás; em engenharia de tanques criogênicos recomenda-se para MLI eficaz.
- Espaçamento entre tanque e jaqueta (gap):
- Multilayer insulation (MLI) dentro do gap:
- Camadas refletoras:
folhas refletoras (ex.: aluminized Mylar ou metalizadas), separadas por espaçadores de baixa condutividade. Essas 5 camadas além das superfícies interna e externa (total “placas” = 7 superfícies radiantes) reduzem a troca radiativa suficiente. - Superfícies metalizadas polidas (tanque e faces do MLI) com baixa emissividade prática
.
- Camadas refletoras:
- Suportes mecânicos:
- Usar 3 suportes de material isolante (G10/epóxi, fibra de vidro) com seção pequena (ex.:
), projetados para minimizar área de contato e comprimento curto, conforme cálculo estimado.
- Usar 3 suportes de material isolante (G10/epóxi, fibra de vidro) com seção pequena (ex.:
- Jaqueta externa:
- A jaqueta pode ser chapa de aço inoxidável fina; sua função é manter vácuo e suportar MLI. O projeto estrutural da jaqueta depende de requisitos mecânicos, mas geometricamente consideramos
.
- A jaqueta pode ser chapa de aço inoxidável fina; sua função é manter vácuo e suportar MLI. O projeto estrutural da jaqueta depende de requisitos mecânicos, mas geometricamente consideramos
- Resultado estimado:
- Fluxo térmico total estimado
. - Perda de oxigênio prevista
< .
- Fluxo térmico total estimado
Resposta
Jaqueta a vácuo com gap de
, nível de vácuo
, e
camadas refletoras (MLI, ex.: aluminized Mylar) entre tanque e jaqueta; 3 suportes de baixa condutividade (ex.: G10,
cada). Potência de vazamento estimada
, correspondente a
(atende ao requisito de
).