Uma sonda criocirúrgica esférica pode ser introduzida em tecidos doentes com o propósito de congelar e dessa maneira destruir o tecido. Considere uma sonda com 3 mm de diâmetro cuja superfície é mantida a -30^{\circ} \mathrm{C} quando introduzida em um tecido que se encontra a 37^{\circ} \mathrm{C}. Uma camada esférica de tecido congelado se forma ao redor da sonda, com uma temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} na fronteira (interface) entre os tecidos congelado e normal. Se a condutividade térmica do tecido congelado é de aproximadamente 1,5 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) e a transferência de calor na fronteira entre as fases pode ser caracterizada por um coeficiente convectivo efetivo de 50 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right), qual é a espessura da camada de tecido congelado (suponha a perfusão desprezível)?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Sonda esférica com diâmetro 3\\ \mathrm{mm}.
    Logo o raio da sonda é a=1{,}5\\ \mathrm{mm}=0,0015\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura na superfície da sonda: -30^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do tecido longe da frente de congelamento (tecido normal): 37^\circ\mathrm{C}.
  • Na interface entre tecido congelado e tecido normal a temperatura é 0^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do tecido congelado: k=1{,}5\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Transferência de calor na fronteira entre fases modelada por um coeficiente convectivo efetivo: h=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Suposição: perfusão desprezível (ou seja, não há geração ou remoção de calor por fluxo sanguíneo dentro da camada congelada) e regime estacionário aplicável para o balanço de potências através da camada congelada.
O que se pede:
  • Calcular a espessura da camada esférica de tecido congelado, isto é, encontrar L tal que o raio externo da camada seja b=a+L.

Passo 2

Modelo físico e equacionamento básico (sem ainda resolver numericamente).
Explicação física e simplificação: quando a sonda fica a temperatura fixa -30^\circ\mathrm{C} ela conduz calor a partir do tecido quente até a sonda. No estado estacionário (ou no balanço instantâneo entre condução através do gelo e troca térmica com o tecido normal), a taxa de calor que atravessa a camada congelada por condução deve ser igual à taxa com que o tecido normal fornece calor para a interface. Assim vamos escrever:
  • Calor conduzido através de uma casca esférica entre raio a (superfície da sonda) e raio b (interface gelo/tecido) usando condução radial em coordenadas esféricas.
  • Calor levado pela parte externa (do tecido normal) até a interface é modelado por convecção com coeficiente h e temperatura distante T_\infty = 37^\circ\mathrm{C}. Na interface a temperatura é T_b=0^\circ\mathrm{C}.
Vou agora apresentar e justificar a fórmula para condução radial esférica.

Passo 3

Fórmula da condução radial em casca esférica — derivação curta e didática.
Para regime estacionário e simetria esférica, a solução da equação de calor é da forma
T(r)=C_1 + \frac{C_2}{r},
onde C_1 e C_2 são constantes obtidas pelas condições de contorno. A taxa de calor radial constante Q através de uma superfície esférica de raio r vale
Q = -k\cdot 4\pi r^2 \frac{dT}{dr}.
Substituindo T(r) obtém-se Q=4\pi k C_2. Usando as temperaturas em r=a e r=b,
T(a)-T(b)=C_2\!\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Eliminando C_2 obtemos a fórmula clássica da resistência térmica esférica:
Q = 4\pi k\; \frac{T(a)-T(b)}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}.
Explicando cada símbolo:
  • Q é a potência (em watts) conduzida da região externa para a sonda (ou vice-versa);
  • k é a condutividade térmica do material interposto (aqui o tecido congelado);
  • T(a) é a temperatura em r=a (superfície da sonda);
  • T(b) é a temperatura na interface r=b.

Passo 4

Fronteira externa: convecção entre o tecido normal e a interface.
A transferência de calor da região de tecido normal (temperatura distante T_\infty = 37^\circ\mathrm{C}) até a interface a T_b=0^\circ\mathrm{C} é dada por
Q = h\cdot A_b \cdot \bigl(T_\infty - T_b\bigr),
onde A_b é a área da esfera de raio b. Como a geometria é esférica,
A_b = 4\pi b^2.
Portanto
Q = h\cdot 4\pi b^2 \cdot (37 - 0).

Passo 5

Igualando as duas expressões de Q (condução através do gelo = convecção fornecida pelo tecido normal):
Escrevendo a expressão de condução usando T(a)=-30^\circ\mathrm{C} e T(b)=0^\circ\mathrm{C}:
Q = 4\pi k\; \frac{0 - (-30)}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}} = 4\pi k\; \frac{30}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}.
Expressão de convecção:
Q = 4\pi b^2 h \cdot 37.
Igualando-as e simplificando 4\pi:
k\; \frac{30}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}} = h\, b^2 \cdot 37.
Usando \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab} a equação fica
k\; 30 \cdot \frac{ab}{b-a} = h\, b^2 \cdot 37.

Passo 6

Manipulação algébrica para obter uma equação para b.
Multiplicando ambos os lados por (b-a) e reorganizando:
k\;30\; a b = 37\, h\, b^2 (b-a)\\ /\!\!\text{(corrigindo: passo curto)}.
(É mais direto escrever como:)
k\;30\cdot \frac{ab}{b-a} = 37\,h\, b^2
\Rightarrow k\;30\, a b = 37\,h\, b^2 (b-a)/(?)\\ \text{(vamos reescrever corretamente a forma quadrática)}.á
Para ficar claro e evitar confusão, passo a desenvolver sem atalho: da igualdade
k\;30 \cdot \frac{ab}{b-a} = 37\, h\, b^2
multiplicando ambos os lados por (b-a) obtemos
k\;30\; a b = 37\, h\, b^2 (b-a).
Agora dividir ambos os lados por b (para eliminar um b):
k\;30\; a = 37\, h\, b (b-a).
Expandindo o lado direito:
k\;30\; a = 37\, h\, (b^2 - a b).
Reorganizando tudo para formar uma equação quadrática em b:
37\, h\, b^2 - 37\, h\, a\, b - k\;30\; a = 0.

Passo 7

Substituição numérica dos dados e resolução da equação quadrática.
Primeiro, os dados numéricos (em unidades SI):
a = 0{,}0015\\ \mathrm{m},\quad k = 1{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad h = 50\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Calcule os coeficientes da quadrática
A = 37\,h = 37\cdot 50 = 1850,
B = -37\,h\,a = -1850\cdot 0{,}0015 = -2{,}775,
C = -k\;30\;a = -1{,}5\cdot 30\cdot 0{,}0015 = -0{,}0675.
A equação é
1850\, b^2 - 2{,}775\, b - 0{,}0675 = 0.
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara:
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}.
Calcule o discriminante:
B^2 = ( -2{,}775)^2 = 7{,}700625,
-4 A C = -4\cdot 1850 \cdot (-0{,}0675) = 499{,}5,
\Delta = B^2 - 4AC = 7{,}700625 + 499{,}5 = 507{,}200625.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta} \approx 22{,}5267.
Agora as raízes:
b = \frac{2{,}775 \pm 22{,}5267}{2\cdot 1850} = \frac{2{,}775 \pm 22{,}5267}{3700}.
Tomando a raiz positiva fisicamente admissível:
b = \frac{2{,}775 + 22{,}5267}{3700} = \frac{25{,}3017}{3700} \approx 0{,}006837\\ \mathrm{m}.
A outra raiz dá b negativo e é fisicamente impossível, portanto é descartada.

Passo 8

Encontrar a espessura L e converter para milímetros; interpretação.
O raio externo da camada congelada é b\approx 0{,}006837\\ \mathrm{m}. A espessura da camada congelada é
L = b - a = 0{,}006837 - 0{,}0015 = 0{,}005337\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
L \approx 5{,}337\\ \mathrm{mm} \approx 5{,}34\\ \mathrm{mm}.
Breve interpretação: a camada congelada tem espessura da ordem de alguns milímetros (≈5,3 mm) ao redor da sonda de 3 mm de diâmetro com as condições dadas. Esse resultado saiu do balanço entre a resistência térmica da casca esférica congelada e a resistência convectiva efetiva do tecido normal descrita por h.

Resposta

L \approx 0{,}005337\\ \mathrm{m} \approx 5{,}34\\ \mathrm{mm}

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