Uma sonda criocirúrgica esférica pode ser introduzida em tecidos doentes com o propósito de congelar e dessa maneira destruir o tecido. Considere uma sonda com 3 mm de diâmetro cuja superfície é mantida a
quando introduzida em um tecido que se encontra a
. Uma camada esférica de tecido congelado se forma ao redor da sonda, com uma temperatura de
na fronteira (interface) entre os tecidos congelado e normal. Se a condutividade térmica do tecido congelado é de aproximadamente
e a transferência de calor na fronteira entre as fases pode ser caracterizada por um coeficiente convectivo efetivo de
, qual é a espessura da camada de tecido congelado (suponha a perfusão desprezível)?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Sonda esférica com diâmetro
.
Logo o raio da sonda é. - Temperatura na superfície da sonda:
. - Temperatura do tecido longe da frente de congelamento (tecido normal):
. - Na interface entre tecido congelado e tecido normal a temperatura é
. - Condutividade térmica do tecido congelado:
. - Transferência de calor na fronteira entre fases modelada por um coeficiente convectivo efetivo:
. - Suposição: perfusão desprezível (ou seja, não há geração ou remoção de calor por fluxo sanguíneo dentro da camada congelada) e regime estacionário aplicável para o balanço de potências através da camada congelada.
O que se pede:
- Calcular a espessura da camada esférica de tecido congelado, isto é, encontrar
tal que o raio externo da camada seja .
Passo 2
Modelo físico e equacionamento básico (sem ainda resolver numericamente).
Explicação física e simplificação: quando a sonda fica a temperatura fixa
ela conduz calor a partir do tecido quente até a sonda. No estado estacionário (ou no balanço instantâneo entre condução através do gelo e troca térmica com o tecido normal), a taxa de calor que atravessa a camada congelada por condução deve ser igual à taxa com que o tecido normal fornece calor para a interface. Assim vamos escrever:
- Calor conduzido através de uma casca esférica entre raio
(superfície da sonda) e raio (interface gelo/tecido) usando condução radial em coordenadas esféricas. - Calor levado pela parte externa (do tecido normal) até a interface é modelado por convecção com coeficiente
e temperatura distante . Na interface a temperatura é .
Vou agora apresentar e justificar a fórmula para condução radial esférica.
Passo 3
Fórmula da condução radial em casca esférica — derivação curta e didática.
Para regime estacionário e simetria esférica, a solução da equação de calor é da forma
onde
e
são constantes obtidas pelas condições de contorno. A taxa de calor radial constante
através de uma superfície esférica de raio
vale
Substituindo
obtém-se
. Usando as temperaturas em
e
,
Eliminando
obtemos a fórmula clássica da resistência térmica esférica:
Explicando cada símbolo:
-
é a potência (em watts) conduzida da região externa para a sonda (ou vice-versa); -
é a condutividade térmica do material interposto (aqui o tecido congelado); -
é a temperatura em (superfície da sonda); -
é a temperatura na interface .
Passo 4
Fronteira externa: convecção entre o tecido normal e a interface.
A transferência de calor da região de tecido normal (temperatura distante
) até a interface a
é dada por
onde
é a área da esfera de raio
. Como a geometria é esférica,
Portanto
Passo 5
Igualando as duas expressões de
(condução através do gelo = convecção fornecida pelo tecido normal):
Escrevendo a expressão de condução usando
e
:
Expressão de convecção:
Igualando-as e simplificando
:
Usando
a equação fica
Passo 6
Manipulação algébrica para obter uma equação para
.
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando:
(É mais direto escrever como:)
Para ficar claro e evitar confusão, passo a desenvolver sem atalho: da igualdade
multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora dividir ambos os lados por
(para eliminar um
):
Expandindo o lado direito:
Reorganizando tudo para formar uma equação quadrática em
:
Passo 7
Substituição numérica dos dados e resolução da equação quadrática.
Primeiro, os dados numéricos (em unidades SI):
Calcule os coeficientes da quadrática
A equação é
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Calcule o discriminante:
Raiz do discriminante:
Agora as raízes:
Tomando a raiz positiva fisicamente admissível:
A outra raiz dá
negativo e é fisicamente impossível, portanto é descartada.
Passo 8
Encontrar a espessura
e converter para milímetros; interpretação.
O raio externo da camada congelada é
. A espessura da camada congelada é
Convertendo para milímetros:
Breve interpretação: a camada congelada tem espessura da ordem de alguns milímetros (≈5,3 mm) ao redor da sonda de 3 mm de diâmetro com as condições dadas. Esse resultado saiu do balanço entre a resistência térmica da casca esférica congelada e a resistência convectiva efetiva do tecido normal descrita por
.