Uma esféra oca, de ferro, flutua quase completamente submersa na água. O seu diâmetro interno mede 47,8 cm e a massa específica do ferro vale 7,8 g / cm^3. Calcule o diâmetro externo da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera oca de ferro, com diâmetro interno Di = 47,8 cm, que flutua quase totalmente submersa na água. A densidade do ferro é rhorm Fe=7,8 g/cm^3 e a da água é rhorm H2O=1,0 g/cm^3. Vamos usar o Princípio de Arquimedes: o peso da esfera (força peso) é equilibrado pela força de empuxo, que depende do volume de água deslocado.

Passo 2

Chamando Re o raio externo e Ri o raio interno, temos
Ri = Di2 = 47,82 = 23,9 cm
O volume do casquete de ferro é
Vrm Fe=Vrm ext-Vrm int =43pil(Re^3-Ri^3r)
A massa da esfera é m=rhorm Fe,Vrm Fe.

Passo 3

Pela condição de equilíbrio flutuante,
Empuxo=Peso Longrightarrow rhorm H2O,Vrm disp,g =rhorm Fe,Vrm Fe,g
Como a esfera está quase totalmente submersa, Vrm dispapprox Vrm ext=tfrac43pi Re^3. Assim,
rhorm H2O,43pi Re^3 =rhorm Fe,43pil(Re^3-Ri^3r)
Cancelando tfrac43pi e isolando Re^3,
rhorm H2O,Re^3 =rhorm Fe,Re^3-rhorm Fe,Ri^3 Longrightarrow (rhorm Fe-rhorm H2O),Re^3 =rhorm Fe,Ri^3
Re^3 =rhorm Ferhorm Fe-rhorm H2O;Ri^3 =7,87,8-1,0;Ri^3 =7,86,8;Ri^3

Passo 4

Calculando o fator numérico,
7,86,8approx1,14706,
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Re =Ri;l(1,14706r)^1/3 =23,9times(1,14706)^1/3approx23,9times1,047approx25,0 cm
Portanto, o diâmetro externo é
De=2,Reapprox2times25,0=50,0 cm

Resposta

O diâmetro externo da esfera é aproximadamente 50,0 cm.

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