Uma esfera oca homogênea de massa m e raio R é lançada com velocidade de translação vo e sem rotação inicial em uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é
. O momento de inércia do esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:
Tempo transcorrido desde o lançamento inicial até que a esfera começa a rolar sem deslizar:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca, de massa $ m $ e raio $ R $, que é lançada em uma superfície horizontal com uma velocidade inicial de translação $ v_0 $ e sem rotação. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é $ \mu $. Queremos descobrir quanto tempo leva desde o lançamento até que a esfera comece a rolar sem deslizar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e translação, além da relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular. Vamos precisar também aplicar as leis de Newton para movimento linear e angular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. A única força de atrito presente é a força de atrito cinético, que age no sentido oposto ao movimento da esfera. Essa força de atrito vai desacelerar a translação da esfera e, ao mesmo tempo, causar um torque que vai fazer a esfera começar a girar.
A força de atrito $ f $ é dada por:
onde $ N $ é a força normal. Como a superfície é horizontal, $ N = mg $, então:
Passo 3
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para o movimento de translação. A aceleração linear $ a $ da esfera é dada por:
Portanto, a esfera está desacelerando com uma aceleração de $ \mu g $.
Passo 4
Em seguida, vamos considerar o movimento de rotação causado pelo torque devido à força de atrito. O torque $ \tau $ é dado por:
A segunda lei de Newton para rotação relaciona torque, momento de inércia $ I $ e aceleração angular $ \alpha $:
Passo 5
A condição para a esfera começar a rolar sem deslizar é que a velocidade linear da translação $ v $ e a velocidade angular $ \omega $ satisfaçam a relação:
Inicialmente, a esfera tem $ \omega_0 = 0 $ e $ v = v_0 $. Conforme o tempo passa, $ v $ diminui e $ \omega $ aumenta até que essa condição seja satisfeita.
Passo 6
Vamos expressar $ v $ e $ \omega $ em função do tempo $ t $. A velocidade linear é:
E a velocidade angular é:
Passo 7
Igualando $ v(t) $ a $ \omega(t) R $:
Simplificando:
Resolvendo para $ t $:
Resposta
O tempo decorrido até que a esfera comece a rolar sem deslizar é: