Uma esfera oca homogênea de massa m e raio R é lançada com velocidade de translação vo e sem rotação inicial em uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é mu. O momento de inércia do esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:
I=23 m R^2
Tempo transcorrido desde o lançamento inicial até que a esfera começa a rolar sem deslizar:
(b) vo5gmu

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera oca homogênea de massa $ m $ e raio $ R $ que é lançada com uma velocidade de translação inicial $ v_0 $ e sem rotação. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é $ \mu $. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo leva desde o lançamento até que a esfera comece a rolar sem deslizar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre dinâmica de rotação e como o atrito afeta o movimento da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando a esfera está deslizando sem rotação, o atrito cinético está agindo contra o movimento de translação. Esse atrito não só desacelera a velocidade de translação da esfera, mas também cria um torque que começa a girar a esfera. O atrito $ f $ pode ser calculado pela fórmula:
f
onde $ g $ é a aceleração devido à gravidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar as duas equações de movimento envolvidas:
  1. Translação: A força de atrito causa uma desaceleração na velocidade de translação da esfera. Podemos usar a segunda lei de Newton:
f = m a
onde $ a $ é a aceleração (ou, no caso, a desaceleração) da translational. Substituindo $ f $:
a
  1. Rotação: O torque $ \tau $ causado pelo atrito faz a esfera girar. O torque é dado por:
f
E relacionando torque e momento de inércia:
mu m g = m a implies a = mu g
onde $ \alpha $ é a aceleração angular. Substituindo $ \tau $ e $ I $:
tau

Passo 4

Para que a esfera comece a rolar sem deslizar, a velocidade de translação $ v $ e a velocidade angular $ \omega $ devem satisfazer a condição:
v
No início, a esfera tem $ \omega = 0 $ e $ v = v_0 $. Com o tempo $ t $, a velocidade de translação diminui devido à desaceleração $ a $, e a velocidade angular aumenta devido à aceleração angular $ \alpha $:
omega
v = omega R
Aplicando a condição $ v = \omega R $:
omega = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ t $:
t
Isolando $ t $:
v0 = mu g t + 3 mu g2 t = 5 mu g2 t

Resposta

O tempo transcorrido desde o lançamento inicial até que a esfera começa a rolar sem deslizar é:
t = v05 g mu

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