Uma esfera oca homogênea de massa m e raio R é lançada com velocidade de translação vo e sem rotação inicial em uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é
. O momento de inércia do esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:
Tempo transcorrido desde o lançamento inicial até que a esfera começa a rolar sem deslizar:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera oca homogênea de massa $ m $ e raio $ R $ que é lançada com uma velocidade de translação inicial $ v_0 $ e sem rotação. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é $ \mu $. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo leva desde o lançamento até que a esfera comece a rolar sem deslizar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre dinâmica de rotação e como o atrito afeta o movimento da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, quando a esfera está deslizando sem rotação, o atrito cinético está agindo contra o movimento de translação. Esse atrito não só desacelera a velocidade de translação da esfera, mas também cria um torque que começa a girar a esfera. O atrito $ f $ pode ser calculado pela fórmula:
onde $ g $ é a aceleração devido à gravidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar as duas equações de movimento envolvidas:
- Translação: A força de atrito causa uma desaceleração na velocidade de translação da esfera. Podemos usar a segunda lei de Newton:
onde $ a $ é a aceleração (ou, no caso, a desaceleração) da translational. Substituindo $ f $:
- Rotação: O torque $ \tau $ causado pelo atrito faz a esfera girar. O torque é dado por:
E relacionando torque e momento de inércia:
onde $ \alpha $ é a aceleração angular. Substituindo $ \tau $ e $ I $:
Passo 4
Para que a esfera comece a rolar sem deslizar, a velocidade de translação $ v $ e a velocidade angular $ \omega $ devem satisfazer a condição:
No início, a esfera tem $ \omega = 0 $ e $ v = v_0 $. Com o tempo $ t $, a velocidade de translação diminui devido à desaceleração $ a $, e a velocidade angular aumenta devido à aceleração angular $ \alpha $:
Aplicando a condição $ v = \omega R $:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ t $:
Isolando $ t $:
Resposta
O tempo transcorrido desde o lançamento inicial até que a esfera começa a rolar sem deslizar é: