Uma esfera oca homogênea de massa m e raio R é lançada com velocidade de translação vo e sem rotação inicial em uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é mu. O momento de inércia do esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:
I=23 m R^2
Tempo transcorrido desde o lançamento inicial até que a esfera começa a rolar sem deslizar:
© 2vogmu

Passo 1

Então, o enunciado diz que a gente tem uma esfera oca (homogênea) de massa m e raio R, que é lançada com velocidade inicial I = 23,mR^2 sem girar sobre uma superfície horizontal com atrito cinético de coeficiente vCM = omega,R . O momento de inércia dessa bola é
Conteúdo envolvido: dinâmica da translação (força de atrito desacelera o centro de massa), dinâmica da rotação (o mesmo atrito gera torque que acelera a rotação) e a condição de rolamento sem deslizar, que é
Vamos precisar da 2ª lei de Newton para translação e rotação, e da relação entre velocidade do centro e velocidade angular.

Passo 2

Equação de translação: a única força horizontal é a força de atrito cinético, que vale
f = mu,m,g
e aponta para trás, então
m,a = -,mu,m,g Longrightarrow a = -,mu,g
Integrando em v(t) = v0 + a,t = v0 - mu,g,t , a velocidade do CM é

Passo 3

Equação de rotação: o atrito também gera torque em torno do centro
tau = f,R = mu,m,g,R,
e pela 2ª lei da rotação
I,alpha = tau Longrightarrow alpha = tauI = mu,m,g,Rtfrac23,mR^2 = 32,mu,gR
Integrando em omega(t) = alpha,t = 32,mu,gR;t ,

Passo 4

Condição de rolamento sem deslizar:
v(t) = omega(t),R
Substituindo:
v0 - mu,g,t ;=; l(32,mu,gR,tr),R ;=; 32,mu,g,t
Isolando v0 = mu,g,t + 32,mu,g,t = 52,mu,g,t Longrightarrow t = 25,v0mu,g :

Resposta

boxedt = 2,v05,mu,g

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