Uma esfera oca homogênea de massa m e raio R é lançada com velocidade de translação vo e sem rotação inicial em uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é mu. O momento de inércia do esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:
I=23 m R^2
Tempo transcorrido desde o lançamento inicial até que a esfera começa a rolar sem deslizar:
(d) 5vo2gmu

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo:
– Temos uma esfera oca (tipo uma casca) de massa I = tfrac23,mR^2 e raio .
– Ela começa deslizando numa superfície horizontal com velocidade inicial , mas sem girar.
– O atrito cinético vale .
– O momento de inércia da esfera em relação ao centro é
A gente precisa achar o tempo que leva até ela “pegar no tranco” e começar a rolar sem deslizar (ou seja, até ).
O conteúdo usado: dinâmica de translação (segunda lei de Newton), torque e equação de rotação, e a condição de não deslizamento.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a aceleração da parte de translação: o atrito cinético tem módulo
Frm atrito=mu,m,g,
e atua sempre para trás. Pela segunda lei de Newton,
m,a = -Frm atrito Longrightarrow a = -mu,g
Ou seja, a velocidade do centro de massa cai como
v(t)=v0 - mu,g,t

Passo 3

Agora a rotação: o atrito gera um torque em torno do centro da esfera que tenta fazê-la girar.
Torque: tau = I,alpha Longrightarrow alpha = tauI = mu m g Rtfrac23mR^2 = 3,mu,g2,R .
A aceleração angular omega(t) = alpha,t = 3,mu,g2,R;t vem de
Como a esfera não girava no início ( ), temos

Passo 4

A condição de rolamento sem deslizamento é
v(t) = R,omega(t)
Substituindo as expressões que achamos:
v0 - mu g t = R;3,mu,g2,R,t ;;Longrightarrow;; v0 - mu g t = 3,mu,g2,t
Juntando os termos em v0 = mu g t + 3,mu,g2,t = 5,mu,g2;t Longrightarrow t = 2,v05,mu,g :

Resposta

boxedt = 2,v05,mu,g

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