Uma esfera oca homogênea de massa m e raio R é lançada com velocidade de translação vo e sem rotação inicial em uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é mu. O momento de inércia do esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:
I=23 m R^2
Tempo transcorrido desde o lançamento inicial até que a esfera começa a rolar sem deslizar:
(e) vogmu

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem uma esfera oca homogênea (tipo uma casca) de massa I = 23,m,R^2 e raio . Ela é lançada no chão com velocidade de translação e sem girar. Entre a esfera e o chão rola atrito cinético com coeficiente . O momento de inércia dessa esfera é dado por
O que a gente quer achar é o tempo até ela atingir o rolamento puro (ou seja, parar de deslizar e começar a “rolar sem derrapar”).
Conteúdo da matéria que vamos usar:
  • Segunda lei de Newton para a translação ( ).
  • Segunda lei de Newton para rotação ( ).
  • Conceito de força de atrito cinético e torque que ela gera.
  • Condição de rolamento sem deslizamento: .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças e as acelerações envolvidas.
  • A esfera desliza para a frente, então o atrito cinético age para trás com módulo
Frm atrito = mu ,m,g
  • Essa força gera:
    1. Uma desaceleração na translação: .
    2. Um torque que acelera a rotação: .

Passo 3

Escrevendo as equações:
  1. Translação (lei m,a = -mu,m,g ;;longrightarrow;; a = -mu,g ):
tau = Frm atrito,R = mu,m,g,R, I,alpha = mu,m,g,R
Aqui o sinal “–” indica que a velocidade alpha = mu,m,g,Rtfrac23mR^2 = mu,gtfrac23R = 32,mu,gR está diminuindo.
  1. Rotação (lei ):
Como , temos

Passo 4

Agora escrevemos v(t) = v0 + a,t = v0 - mu,g,t, e omega(t) = 0 + alpha,t = 32,mu,gR,t , tomando v(t) = omega(t),R com e :
A condição de rolamento sem deslizamento é

Passo 5

Substituindo na condição de rolamento:
v0 - mu,g,t ;=; l(32,mu,gR,tr),R ;=;32,mu,g,t
Então
v0 = mu,g,t + 32,mu,g,t = 52,mu,g,t longrightarrow t = 25,v0mu,g

Resposta

boxed,t = 25,v0mu,g,

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