Uma esfera oca homogênea de massa m e raio R é lançada com velocidade de translação vo e sem rotação inicial em uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é
. O momento de inércia do esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:
Tempo transcorrido desde o lançamento inicial até que a esfera começa a rolar sem deslizar:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem uma esfera oca homogênea (tipo uma casca) de massa
e raio
. Ela é lançada no chão com velocidade de translação
e sem girar. Entre a esfera e o chão rola atrito cinético com coeficiente
. O momento de inércia dessa esfera é dado por
O que a gente quer achar é o tempo até ela atingir o rolamento puro (ou seja, parar de deslizar e começar a “rolar sem derrapar”).
Conteúdo da matéria que vamos usar:
- Segunda lei de Newton para a translação (
). - Segunda lei de Newton para rotação (
). - Conceito de força de atrito cinético e torque que ela gera.
- Condição de rolamento sem deslizamento:
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças e as acelerações envolvidas.
- A esfera desliza para a frente, então o atrito cinético age para trás com módulo
- Essa força gera:
- Uma desaceleração na translação:
. - Um torque que acelera a rotação:
.
- Uma desaceleração na translação:
Passo 3
Escrevendo as equações:
- Translação (lei
):
Aqui o sinal “–” indica que a velocidade
está diminuindo.
- Rotação (lei
):
Como
, temos
Passo 4
Agora escrevemos
e
, tomando
com
e
:
A condição de rolamento sem deslizamento é
Passo 5
Substituindo na condição de rolamento:
Então