Uma esfera oca de raio interno 6 cm e raio externo de 9 cm flutua com metade do volume submerso em uma líquido de massa específica 500 kg / m^3.
Calcule a massa específica do material de que é feito a esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera oca que está flutuando em um líquido. A esfera tem um raio interno de 6 cm e um raio externo de 9 cm. Ela está flutuando com metade do seu volume submerso no líquido, que tem uma massa específica de 500 , kg/m^3. Nosso objetivo é descobrir qual é a massa específica do material de que a esfera é feita.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de densidade, volume e o princípio de Arquímedes, que nos ajuda a entender como objetos flutuam ou afundam em líquidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma esfera oca. Uma esfera oca tem um espaço vazio no meio, então para encontrar o volume dessa esfera, precisamos calcular o volume da parte externa e depois subtrair o volume da parte interna.
A fórmula para o volume de uma esfera é:
V = 43 pi r^3
onde $ r $ é o raio da esfera.

Passo 3

Vamos calcular o volume externo da esfera, que tem raio de 9 cm. Lembrando que precisamos trabalhar com metros para manter as unidades consistentes com a massa específica do líquido.
Primeiro, convertemos os centímetros para metros:
9 , cm = 0,09 , m
Agora, aplicamos a fórmula do volume:
Vexterno = 43 pi (0,09)^3 approx 43 pi (0,000729) approx 0,00307 , m^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume interno da esfera, que tem raio de 6 cm, ou seja, 0,06 m.
Vinterno = 43 pi (0,06)^3 approx 43 pi (0,000216) approx 0,000906 , m^3

Passo 5

Para encontrar o volume total da esfera oca, subtraímos o volume interno do volume externo:
Vtotal = Vexterno - Vinterno approx 0,00307 , m^3 - 0,000906 , m^3 approx 0,002164 , m^3

Passo 6

Sabemos que a esfera está flutuando com metade do seu volume submerso. Então, o volume submerso é:
Vsubmerso = 12 Vtotal approx 12 times 0,002164 , m^3 approx 0,001082 , m^3

Passo 7

De acordo com o princípio de Arquimedes, a força de empuxo que age sobre a esfera é igual ao peso do líquido deslocado, e isso deve ser igual ao peso da própria esfera para que ela fique flutuando.
A fórmula do empuxo é:
E = Vsubmerso times rholíquido times g í
onde:
  • $ E $ é o empuxo,
  • $ V_{submerso} $ é o volume submerso,
  • $ \rho_{líquido} $ é a massa específica do líquido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente E ).
O peso da esfera é:
Vsubmerso
Como o empuxo é igual ao peso:
rholíquido í
Podemos simplificar $ g $ dos dois lados:
g í

Passo 8

Agora, isolamos $ \rho_{esfera} $ para encontrar a massa específica do material da esfera:
rhoesfera í
Substituindo os valores que já calculamos:
rhoesfera = Vsubmerso times rholíquidoVtotal

Resposta

A massa específica do material de que é feita a esfera é aproximadamente 250 , kg/m^3.

Exercícios relacionados