Uma esfera oca de raio interno 6 cm e raio externo de 9 cm flutua com metade do volume submerso em uma líquido de massa específica
.
Calcule a massa específica do material de que é feito a esfera.
Calcule a massa específica do material de que é feito a esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera oca que está flutuando em um líquido. A esfera tem um raio interno de 6 cm e um raio externo de 9 cm. Ela está flutuando com metade do seu volume submerso no líquido, que tem uma massa específica de
. Nosso objetivo é descobrir qual é a massa específica do material de que a esfera é feita.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de densidade, volume e o princípio de Arquímedes, que nos ajuda a entender como objetos flutuam ou afundam em líquidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma esfera oca. Uma esfera oca tem um espaço vazio no meio, então para encontrar o volume dessa esfera, precisamos calcular o volume da parte externa e depois subtrair o volume da parte interna.
A fórmula para o volume de uma esfera é:
onde $ r $ é o raio da esfera.
Passo 3
Vamos calcular o volume externo da esfera, que tem raio de 9 cm. Lembrando que precisamos trabalhar com metros para manter as unidades consistentes com a massa específica do líquido.
Primeiro, convertemos os centímetros para metros:
Agora, aplicamos a fórmula do volume:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume interno da esfera, que tem raio de 6 cm, ou seja, 0,06 m.
Passo 5
Para encontrar o volume total da esfera oca, subtraímos o volume interno do volume externo:
Passo 6
Sabemos que a esfera está flutuando com metade do seu volume submerso. Então, o volume submerso é:
Passo 7
De acordo com o princípio de Arquimedes, a força de empuxo que age sobre a esfera é igual ao peso do líquido deslocado, e isso deve ser igual ao peso da própria esfera para que ela fique flutuando.
A fórmula do empuxo é:
onde:
- $ E $ é o empuxo,
- $ V_{submerso} $ é o volume submerso,
- $ \rho_{líquido} $ é a massa específica do líquido,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
O peso da esfera é:
Como o empuxo é igual ao peso:
Podemos simplificar $ g $ dos dois lados:
Passo 8
Agora, isolamos $ \rho_{esfera} $ para encontrar a massa específica do material da esfera:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
A massa específica do material de que é feita a esfera é aproximadamente
.