Uma esfera ôca de raio interno r=0,5 m e raio externo R (a ser determinado) é feita de um material de densidade rhoM=4,0 cdot 10^3 kg / m^3. Ela encontra-se om equilíbrio quando totalmente submersa em um líquido de densidade rhoL=3,5 cdot 10^3 kg / m^3.
Determine o volume da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera ôca que está totalmente submersa em um líquido e está em equilíbrio. Queremos encontrar o volume dessa esfera. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de física como a força de empuxo (que é a força que faz o objeto flutuar) e a densidade dos materiais envolvidos. Precisamos usar fórmulas para calcular volumes de esferas e entender como a densidade influencia o equilíbrio da esfera no líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar em equilíbrio quando submersa no líquido. Isso quer dizer que a força de empuxo exercida pelo líquido sobre a esfera é igual à força gravitacional que puxa a esfera para baixo.
A força de empuxo é calculada pela fórmula:
Fempuxo = rhoL cdot Vesfera cdot g
onde:
  • rhoL é a densidade do líquido,
  • Vesfera é o volume total da esfera,
  • g é a aceleração da gravidade.
A força gravitacional que age sobre a esfera é:
Fgravidade = rhoM cdot Vmaterial cdot g
onde:
  • rhoM é a densidade do material da esfera,
  • Vmaterial é o volume do material da esfera.

Passo 3

Como a esfera é ôca, o volume do material da esfera é a diferença entre o volume da esfera externa e a volume interna (que é o espaço vazio dentro da esfera). A fórmula para o volume de uma esfera é:
V = 43 pi R^3
Então, o volume do material da esfera é:
Vmaterial = 43 pi (R^3 - r^3)
onde R é o raio externo da esfera e r = 0,5, m é o raio interno.

Passo 4

No equilíbrio, a força de empuxo é igual à força gravitacional:
rhoL cdot Vesfera cdot g = rhoM cdot Vmaterial cdot g
Podemos cancelar o g dos dois lados:
rhoL cdot Vesfera = rhoM cdot Vmaterial
Substituindo os volumes:
rhoL cdot 43 pi R^3 = rhoM cdot 43 pi (R^3 - r^3)
Podemos cancelar 43 pi:
rhoL cdot R^3 = rhoM cdot (R^3 - r^3)

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar R:
rhoL cdot R^3 = rhoM cdot R^3 - rhoM cdot r^3
Isolando R^3:
(rhoL - rhoM) cdot R^3 = -rhoM cdot r^3
Multiplicando os dois lados por -1:
(rhoM - rhoL) cdot R^3 = rhoM cdot r^3
Agora, isolando R^3:
R^3 = rhoM cdot r^3rhoM - rhoL
Substituindo os valores:
R^3 = 4,0 times 10^3, kg/m^3 cdot (0,5, m)^34,0 times 10^3, kg/m^3 - 3,5 times 10^3, kg/m^3
Calculando:
R^3 = 4,0 times 10^3 cdot 0,1250,5 times 10^3 = 500500 = 1, m^3
Assim, R = raiz[3]1 = 1, m.

Resposta

O volume da esfera é:
V = 43 pi (R^3 - r^3) = 43 pi (1^3 - 0,5^3) = 43 pi (1 - 0,125) = 43 pi times 0,875 approx 3,665, m^3

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