Uma esfera ôca de raio interno
e raio externo
(a ser determinado) é feita de um material de densidade
. Ela encontra-se om equilíbrio quando totalmente submersa em um líquido de densidade
.
Determine o volume da esfera.
Determine o volume da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera ôca que está totalmente submersa em um líquido e está em equilíbrio. Queremos encontrar o volume dessa esfera. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de física como a força de empuxo (que é a força que faz o objeto flutuar) e a densidade dos materiais envolvidos. Precisamos usar fórmulas para calcular volumes de esferas e entender como a densidade influencia o equilíbrio da esfera no líquido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar em equilíbrio quando submersa no líquido. Isso quer dizer que a força de empuxo exercida pelo líquido sobre a esfera é igual à força gravitacional que puxa a esfera para baixo.
A força de empuxo é calculada pela fórmula:
onde:
-
é a densidade do líquido, -
é o volume total da esfera, -
é a aceleração da gravidade.
A força gravitacional que age sobre a esfera é:
onde:
-
é a densidade do material da esfera, -
é o volume do material da esfera.
Passo 3
Como a esfera é ôca, o volume do material da esfera é a diferença entre o volume da esfera externa e a volume interna (que é o espaço vazio dentro da esfera). A fórmula para o volume de uma esfera é:
Então, o volume do material da esfera é:
onde
é o raio externo da esfera e
é o raio interno.
Passo 4
No equilíbrio, a força de empuxo é igual à força gravitacional:
Podemos cancelar o
dos dois lados:
Substituindo os volumes:
Podemos cancelar
:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Isolando
:
Multiplicando os dois lados por -1:
Agora, isolando
:
Substituindo os valores:
Calculando:
Assim,
.
Resposta
O volume da esfera é: