Uma esfera ôca de raio interno r=0,5 m e raio externo R (a ser determinado) é feita de um material de densidade rhoM=4,0 cdot 10^3 kg / m^3. Ela encontra-se om equilíbrio quando totalmente submersa em um líquido de densidade rhoL=3,5 cdot 10^3 kg / m^3.
Determine o módulo do empuxo exercido pelo líquido sobre a esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera oca com raio interno de 0,5 metros e raio externo que a gente precisa descobrir. Essa esfera é feita de um material com densidade de 4,0 times 10^3, kg/m^3 e está totalmente submersa num líquido que tem densidade de 3,5 times 10^3, kg/m^3. A esfera está em equilíbrio, ou seja, o empuxo do líquido iguala o peso da esfera. Vamos usar conceitos de empuxo e equilíbrio de forças para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é empuxo. O empuxo é a força que um líquido exerce para cima sobre um objeto submerso. Ele é igual ao peso do líquido que o objeto desloca. A fórmula do empuxo ( E) é:
E = rhoL times V times g
onde:
  • rhoL é a densidade do líquido,
  • V é o volume deslocado,
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81, m/s^2).

Passo 3

Agora, vamos calcular o peso da esfera. Como a esfera é oca, o peso dela é a massa do material que a compõe multiplicada pela gravidade:
P = m times g
A massa ( m) é dada pela densidade do material vezes o volume da casca da esfera:
m = rhoM times (Vexterno - Vinterno)
onde:
  • rhoM é a densidade do material da esfera,
  • Vexterno é o volume da esfera externa,
  • Vinterno é o volume da esfera interna.

Passo 4

Como a esfera está em equilíbrio, o empuxo é igual ao peso:
E = P
Substituindo as fórmulas que temos:
rhoL times Vexterno times g = rhoM times (Vexterno - Vinterno) times g
A gente pode simplificar g dos dois lados:
rhoL times Vexterno = rhoM times (Vexterno - Vinterno)

Passo 5

Vamos expressar os volumes das esferas em função dos raios. O volume de uma esfera é:
V = 43 pi r^3
Então:
Vexterno = 43 pi R^3
Vinterno = 43 pi r^3
Substituindo na equação anterior:
rhoL times 43 pi R^3 = rhoM times ( 43 pi R^3 - 43 pi r^3 )

Passo 6

Vamos simplificar a equação. Podemos dividir ambos os lados por 43 pi:
rhoL R^3 = rhoM (R^3 - r^3)
Expandindo o lado direito:
rhoL R^3 = rhoM R^3 - rhoM r^3
Vamos isolar R^3:
rhoL R^3 - rhoM R^3 = -rhoM r^3
Fatorando R^3:
R^3 (rhoL - rhoM) = -rhoM r^3
Multiplicando ambos os lados por -1:
R^3 (rhoM - rhoL) = rhoM r^3
Finalmente, isolando R^3:
R^3 = rhoM r^3rhoM - rhoL

Passo 7

Vamos agora calcular R^3 usando os valores dados:
rhoM = 4,0 times 10^3, kg/m^3
rhoL = 3,5 times 10^3, kg/m^3
r = 0,5, m
Substituindo:
R^3 = 4,0 times 10^3 times (0,5)^34,0 times 10^3 - 3,5 times 10^3 = 4,0 times 10^3 times 0,1250,5 times 10^3 = 500500 = 1, m^3
Então:
R = raiz[3]1 = 1, m

Passo 8

Agora que sabemos que R = 1, m, podemos calcular o empuxo:
E = rhoL times Vexterno times g = rhoL times 43 pi R^3 times g
Substituindo os valores:
E = 3,5 times 10^3 times 43 pi (1)^3 times 9,81
E = 3,5 times 10^3 times 43 pi times 9,81
Calculando:
E approx 3,5 times 10^3 times 4,18879 times 9,81 approx 3,5 times 10^3 times 41,179 approx 1,441 times 10^5, N

Resposta

O módulo do empuxo exercido pelo líquido sobre a esfera é aproximadamente 1,44 times 10^5, N.

Exercícios relacionados