Uma esfera ôca de raio interno
e raio externo
(a ser determinado) é feita de um material de densidade
. Ela encontra-se om equilíbrio quando totalmente submersa em um líquido de densidade
.
Determine o módulo do empuxo exercido pelo líquido sobre a esfera.
Determine o módulo do empuxo exercido pelo líquido sobre a esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera oca com raio interno de 0,5 metros e raio externo que a gente precisa descobrir. Essa esfera é feita de um material com densidade de
e está totalmente submersa num líquido que tem densidade de
. A esfera está em equilíbrio, ou seja, o empuxo do líquido iguala o peso da esfera. Vamos usar conceitos de empuxo e equilíbrio de forças para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é empuxo. O empuxo é a força que um líquido exerce para cima sobre um objeto submerso. Ele é igual ao peso do líquido que o objeto desloca. A fórmula do empuxo (
) é:
onde:
-
é a densidade do líquido, -
é o volume deslocado, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Passo 3
Agora, vamos calcular o peso da esfera. Como a esfera é oca, o peso dela é a massa do material que a compõe multiplicada pela gravidade:
A massa (
) é dada pela densidade do material vezes o volume da casca da esfera:
onde:
-
é a densidade do material da esfera, -
é o volume da esfera externa, -
é o volume da esfera interna.
Passo 4
Como a esfera está em equilíbrio, o empuxo é igual ao peso:
Substituindo as fórmulas que temos:
A gente pode simplificar
dos dois lados:
Passo 5
Vamos expressar os volumes das esferas em função dos raios. O volume de uma esfera é:
Então:
Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Vamos simplificar a equação. Podemos dividir ambos os lados por
:
Expandindo o lado direito:
Vamos isolar
:
Fatorando
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, isolando
:
Passo 7
Vamos agora calcular
usando os valores dados:
Substituindo:
Então:
Passo 8
Agora que sabemos que
, podemos calcular o empuxo:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
O módulo do empuxo exercido pelo líquido sobre a esfera é aproximadamente
.