Uma esfera ôca de raio interno r=0,5 m e raio externo R (a ser determinado) é feita de um material de densidade rhoM=4,0 cdot 10^3 kg / m^3. Ela encontra-se om equilíbrio quando totalmente submersa em um líquido de densidade rhoL=3,5 cdot 10^3 kg / m^3.
Determine o raio externo R da esfera.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem: uma esfera oca com raio interno
r = 0{,}5\;\mathrm{m}
e raio externo
R
(desconhecido). O material dela tem densidade
\rho_M = 4{,}0\times10^3\;\mathrm{kg/m^3}
e ela fica em equilíbrio totalmente submersa num líquido de densidade
\rho_L = 3{,}5\times10^3\;\mathrm{kg/m^3}.
Quando ela não afunda nem boia, o peso dela = empuxo. Vamos usar:
  1. Princípio de Arquimedes (empuxo = peso do líquido deslocado).
  2. Fórmula do volume de esfera e de casca esférica.

Passo 2

Escrevendo as forças:
  • Peso da esfera (casca):
P = m\,g = \rho_M\,g\,V_{\text{casca}}
    = \rho_M\,g\;\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi\,(R^3 - r^3)\Bigr).
  • Empuxo do líquido:
E = \rho_L\,g\,V_{\text{deslocado}}
  = \rho_L\,g\;\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi\,R^3\Bigr).
Em equilíbrio,
P = E
\quad\Longrightarrow\quad
\rho_M\,g\,\tfrac{4}{3}\pi\,(R^3 - r^3)
= \rho_L\,g\,\tfrac{4}{3}\pi\,R^3.

Passo 3

Cancelamos e dos dois lados, ficando:
\rho_M\,(R^3 - r^3) = \rho_L\,R^3.
Desenvolvendo:
\rho_M\,R^3 - \rho_M\,r^3 = \rho_L\,R^3
\;\Longrightarrow\;
R^3\,(\rho_M - \rho_L) = \rho_M\,r^3
\;\Longrightarrow\;
R^3 = \frac{\rho_M}{\rho_M - \rho_L}\;r^3.

Passo 4

É só substituir:
\frac{\rho_M}{\rho_M - \rho_L}
= \frac{4{,}0\times10^3}{4{,}0\times10^3 - 3{,}5\times10^3}
= \frac{4{,}0\times10^3}{0{,}5\times10^3}
= 8.
Então
R^3 = 8\,r^3
\quad\Longrightarrow\quad
R = \sqrt[3]{8}\;r = 2\,r = 2\times0{,}5\;\mathrm{m} = 1{,}0\;\mathrm{m}.

Resposta

O raio externo da esfera deve ser
\boxed{R = 1{,}0\;\mathrm{m}}.

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