Uma esfera ôca de raio interno
e raio externo
(a ser determinado) é feita de um material de densidade
. Ela encontra-se om equilíbrio quando totalmente submersa em um líquido de densidade
.
Determine o raio externo
da esfera.
Determine o raio externo
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem: uma esfera oca com raio interno
r = 0{,}5\;\mathrm{m}
e raio externo
R
(desconhecido). O material dela tem densidade
\rho_M = 4{,}0\times10^3\;\mathrm{kg/m^3}
e ela fica em equilíbrio totalmente submersa num líquido de densidade
\rho_L = 3{,}5\times10^3\;\mathrm{kg/m^3}.
Quando ela não afunda nem boia, o peso dela = empuxo. Vamos usar:
- Princípio de Arquimedes (empuxo = peso do líquido deslocado).
- Fórmula do volume de esfera e de casca esférica.
Passo 2
Escrevendo as forças:
- Peso da esfera (casca):
P = m\,g = \rho_M\,g\,V_{\text{casca}}
= \rho_M\,g\;\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi\,(R^3 - r^3)\Bigr).
- Empuxo do líquido:
E = \rho_L\,g\,V_{\text{deslocado}}
= \rho_L\,g\;\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi\,R^3\Bigr).
Em equilíbrio,
P = E
\quad\Longrightarrow\quad
\rho_M\,g\,\tfrac{4}{3}\pi\,(R^3 - r^3)
= \rho_L\,g\,\tfrac{4}{3}\pi\,R^3.
Passo 3
Cancelamos
e
dos dois lados, ficando:
\rho_M\,(R^3 - r^3) = \rho_L\,R^3.
Desenvolvendo:
\rho_M\,R^3 - \rho_M\,r^3 = \rho_L\,R^3
\;\Longrightarrow\;
R^3\,(\rho_M - \rho_L) = \rho_M\,r^3
\;\Longrightarrow\;
R^3 = \frac{\rho_M}{\rho_M - \rho_L}\;r^3.
Passo 4
É só substituir:
\frac{\rho_M}{\rho_M - \rho_L}
= \frac{4{,}0\times10^3}{4{,}0\times10^3 - 3{,}5\times10^3}
= \frac{4{,}0\times10^3}{0{,}5\times10^3}
= 8.
Então
R^3 = 8\,r^3
\quad\Longrightarrow\quad
R = \sqrt[3]{8}\;r = 2\,r = 2\times0{,}5\;\mathrm{m} = 1{,}0\;\mathrm{m}.
Resposta
O raio externo da esfera deve ser
\boxed{R = 1{,}0\;\mathrm{m}}.