Uma esfera de raio a, centrada na origem, gira em torno do eixo z com velocidade angular Omega rad / s. O sentido de rotação é horário quando olhando na direção positiva do eixo z. (a) Usando coordenadas esféricas, escreva uma expressão para o campo de velocidade, V, que dá a velocidade tangencial em todos os pontos da esfera; (b) converta para coordenadas retangulares.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma esfera de raio , centrada na origem, que gira em torno do eixo com velocidade angular . O giro é “horário” visto de cima (eixo ), o que significa que o vetor aponta para baixo, isto é .
Matérias envolvidas: rotação rígida (velocidade ), coordenadas esféricas (vetores unitários ) e a troca para coordenadas cartesianas. Vamos usar a fórmula do produto vetorial e as relações de base.

Passo 2

Resolvendo em coordenadas esféricas boldsymbol v ;=;boldsymbolOmegatimesboldsymbol r :
  1. Em rotação rígida vale sempre
vr=0, vtheta=0, vphi = -,Omega,rsintheta,
  1. Como boxedboldsymbol v = -,Omega,asintheta;hat ephi e , percebe-se que o movimento só tem componente azimutal (no sentido ).
  2. Em detalhe, em esféricas
porque é a projeção da posição no plano e o sinal “ ” reflete o giro horário (sentido negativo de ).
4) Como a esfera tem raio fixo , a velocidade na superfície é

Passo 3

Agora vamos para coordenadas cartesianas boldsymbol v =;(-Omega,hat k)times(x,hat i + y,hat j + z,hat k) =;-,Omegal(hat ktimes(x,hat i+y,hat j)r) .
  1. Escrevendo hat ktimes(x,hat i+y,hat j) = x,hat j - y,hat i, e boldsymbol v = -Omega,(x,hat j - y,hat i) = Omega,l(y,hat i - x,hat jr) , fazemos o produto vetorial:
vx = Omega,y, vy = -,Omega,x, vz = 0
  1. Lembrando e , vem
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  1. Concluímos que, em retangulares, a velocidade é

Resposta

Expressões finais para o campo de velocidade na casca da esfera boldsymbol v = -,Omega,asintheta;hat ephi :
Em esféricas:
boxedboldsymbol v = Omega,y,hat i ;-;Omega,x,hat j, vz=0
Em retangulares:

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