Uma esfera de raio
, centrada na origem, gira em torno do eixo z com velocidade angular
. O sentido de rotação é horário quando olhando na direção positiva do eixo z. (a) Usando coordenadas esféricas, escreva uma expressão para o campo de velocidade,
, que dá a velocidade tangencial em todos os pontos da esfera; (b) converta para coordenadas retangulares.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma esfera de raio
, centrada na origem, que gira em torno do eixo
com velocidade angular
. O giro é “horário” visto de cima (eixo
), o que significa que o vetor
aponta para baixo, isto é
.
Matérias envolvidas: rotação rígida (velocidade ), coordenadas esféricas (vetores unitários
) e a troca para coordenadas cartesianas. Vamos usar a fórmula do produto vetorial e as relações de base.
Matérias envolvidas: rotação rígida (velocidade
Passo 2
Resolvendo em coordenadas esféricas
:
- Em rotação rígida vale sempre
- Como
e , percebe-se que o movimento só tem componente azimutal (no sentido ). - Em detalhe, em esféricas
porque
é a projeção da posição no plano
e o sinal “
” reflete o giro horário (sentido negativo de
).
4) Como a esfera tem raio fixo , a velocidade na superfície é
4) Como a esfera tem raio fixo
Passo 3
Agora vamos para coordenadas cartesianas
.
- Escrevendo
e , fazemos o produto vetorial:
- Lembrando
e , vem
logo
- Concluímos que, em retangulares, a velocidade é
Resposta
Expressões finais para o campo de velocidade na casca da esfera
:
Em esféricas:
Em esféricas:
Em retangulares: