Transforme o campo vetorial A=x ay para: (a) coordenadas cilíndricas e determine-o no ponto P(3,-4,-5); (b) coordenadas esféricas e determine-o no ponto P .

Passo 1

Beleza, a questão pede para pegar o campo vetorial
vec A = x,vec ay
e reescrever em duas coordenações diferentes:
a) cilíndricas e depois avaliar em ,
b) esféricas e avaliar em .
Para isso a gente vai precisar:
  • Saber como trocar por e por .
  • Saber expressar nos conjuntos de versores cilíndricos e esféricos .

Passo 2

Transformação para coordenadas cilíndricas:
  1. Primeiro, vec ay = -sintheta,vec ar + costheta,vec atheta , vec A = x,vec ay = (rcostheta)l(-sintheta,vec ar + costheta,vec athetar) = -rcosthetasintheta,vec ar ;+; rcos^2theta,vec atheta , .
  2. O versor em função de é
  1. Logo

Passo 3

Avaliar em Ar = -rcosthetasintheta = -5cdot35cdotl(-45r) = 125, Atheta = rcos^2theta = 5cdot925 = 95, Az = 0 :
  • vec A = 125,vec ar ;+; 95,vec atheta .
  • .
  • .
    E também , .
    Portanto:
Então, em cilíndricas no ponto :

Passo 4

Transformação para coordenadas esféricas:
  1. As relações são
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi
  1. Os versores esféricos (com vec ay = sinvarphisintheta,vec arho ;+;costheta,vec atheta ;+;cosvarphisintheta,vec avarphi polar e vec A = x,vec ay = l(rhosinvarphicosthetar)l(sinvarphisintheta,vec arho + costheta,vec atheta + cosvarphisintheta,vec avarphir) azimute) em termos de vec A = rho,sin^2!varphi,costhetasintheta,vec arho + rho,sinvarphi,cos^2!theta,vec atheta + rho,sinvarphi,cosvarphi,costhetasintheta,vec avarphi geram, inversamente,
  1. Então
Distribuindo, obtemos

Passo 5

Avaliar em Arho = 5raiz2cdot12cdot35cdotl(-45r) = -6raiz25, Atheta = 5raiz2cdotraiz22cdot925 = 95, Avarphi = 5raiz2cdotraiz22cdotl(-raiz22r)cdot35cdotl(-45r) = 6raiz25 :
  • (mesma do cilindro).

  • Logo

    Substituindo:

Resposta

(a) Em cilíndricas, de forma geral
vec A = -rcosthetasintheta,vec ar + rcos^2theta,vec atheta,
e em boxedvec A = 125,vec ar + 95,vec atheta :
vec A = rho,sin^2varphi,costhetasintheta,vec arho + rho,sinvarphi,cos^2theta,vec atheta + rho,sinvarphi,cosvarphi,costhetasintheta,vec avarphi,
(b) Em esféricas, de forma geral
boxedvec A = -6raiz25,vec arho ;+;95,vec atheta ;+;6raiz25,vec avarphi
e em :

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