Expresse
vetor unitário
em coordenadas esféricas no ponto: (a)
; (b)
; ©
.
Passo 1
Beleza, vou explicar de forma bem tranquila. A questão é: “Expressar o vetor unitário 𝑎ₓ (ou seja, o vetor que aponta na direção de x em coordenadas cartesianas) usando a base de vetores unitários esféricos
” em três situações diferentes de ponto.
Conteúdo envolvido: coordenadas esféricas e relação entre as bases cartesianas e esféricas.
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: coordenadas esféricas e relação entre as bases cartesianas e esféricas.
O que vamos precisar:
- Saber a definição das coordenadas esféricas
. - Recordar a fórmula que escreve
em função de . - Avaliar essa fórmula nos pontos dados (pra (b) e © a gente converte para achar
).
Passo 2
Primeiro, a teoria: em coordenadas esféricas, temos os vetores unitários
-
apontando radialmente, -
apontando no sentido decrescente de (polar), -
apontando no sentido crescente de (azimute).
A relação clássica para o vetor unitário do eixo x é
É só essa fórmula mágica que a gente vai usar, trocando
e
pelos valores de cada ponto.
Passo 3
(a) No ponto
.
Basta substituir e
na fórmula:
Basta substituir
Não precisamos do
porque o vetor unitário não depende de
.
Passo 4
(b) No ponto
.
Primeiro a gente acha as coordenadas esféricas:
Primeiro a gente acha as coordenadas esféricas:
-
-
-
Agora plug na fórmula:
Pra simplificar, dá pra usar identidades:
e
, etc., mas não é obrigatório.
Passo 5
© No ponto
.
Aqui é nosso
. A gente precisa de
:
Aqui
Já
. Então
E como antes,
.
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©