Expresse o vetor unitário ax em coordenadas esféricas no ponto: (a) r=2, theta=1, phi=0,8; (b) x=3, y=2, z=-1; © rho=2.5, phi=0.7, z=1.5.

Passo 1

Beleza, vou explicar de forma bem tranquila. A questão é: “Expressar o vetor unitário 𝑎ₓ (ou seja, o vetor que aponta na direção de x em coordenadas cartesianas) usando a base de vetores unitários esféricos ” em três situações diferentes de ponto.
Conteúdo envolvido: coordenadas esféricas e relação entre as bases cartesianas e esféricas.
O que vamos precisar:
  1. Saber a definição das coordenadas esféricas .
  2. Recordar a fórmula que escreve em função de .
  3. Avaliar essa fórmula nos pontos dados (pra (b) e © a gente converte para achar ).

Passo 2

Primeiro, a teoria: em coordenadas esféricas, temos os vetores unitários
  • hat x ;=; sinthetacosphi,hat er ;+;costhetacosphi,hat etheta ;-;sinphi,hat ephi apontando radialmente,
  • apontando no sentido decrescente de (polar),
  • apontando no sentido crescente de (azimute).
    A relação clássica para o vetor unitário do eixo x é
É só essa fórmula mágica que a gente vai usar, trocando e pelos valores de cada ponto.

Passo 3

(a) No ponto hat x = sin(1)cos(0.8),hat er ;+;cos(1)cos(0.8),hat etheta;-;sin(0.8),hat ephi .
Basta substituir e na fórmula:
Não precisamos do porque o vetor unitário não depende de .

Passo 4

(b) No ponto hat x = sinl(arccos(-1/raiz14)r)cos!l(arctan(2/3)r),hat er +cosl(arccos(-1/raiz14)r)cos!l(arctan(2/3)r),hat etheta -sin!l(arctan(2/3)r),hat ephi .
Primeiro a gente acha as coordenadas esféricas:

  • Agora plug na fórmula:
Pra simplificar, dá pra usar identidades:
e , etc., mas não é obrigatório.

Passo 5

© No ponto costheta = zr = 1.52.5 = 0.6 Longrightarrow theta = arccos(0.6) .
Aqui hat x = sin(arccos(0.6))cos(0.7),hat er +cos(arccos(0.6))cos(0.7),hat etheta -sin(0.7),hat ephi é nosso . A gente precisa de :
. Então
E como antes, .

Resposta

(a)
(b)
©

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