Uma esfera de raio R, centrada na origem, está preenchida por um gás em equilíbrio hidrostático. A massa total de gás contida na esfera é M e a aceleração da gravidade vale \alpha \mathbf{i}-\beta \mathbf{j}.
Calcule o momento desta força em relação à origem.

Passo 1

O enunciado pede o momento (ou torque) da força da gravidade sobre todo o gás dentro de uma esfera de raio R centrada na origem. A massa total do gás é M e a aceleração da gravidade é constante
\mathbf g = \alpha\,\mathbf i \;-\;\beta\,\mathbf j.
Para resolver, vamos usar que, em mecânica de corpos contínuos, o momento total da força de volume \mathbf g é
\mathbf M = \int_V \mathbf r \times (\rho(\mathbf r)\,\mathbf g)\,dV,
e que esse integral pode ser relacionado ao centro de massa do gás.

Passo 2

Escrevendo o momento em função da densidade \rho(\mathbf r), temos
\mathbf M = \int_V \mathbf r \times \bigl(\rho(\mathbf r)\,\mathbf g\bigr)\,dV = \Bigl(\int_V \rho(\mathbf r)\,\mathbf r\,dV\Bigr)\times\mathbf g = \bigl(M\,\mathbf r_{\rm cm}\bigr)\times\mathbf g,
onde definimos o vetor posição do centro de massa do gás por
\mathbf r_{\rm cm} = \frac{1}{M}\int_V \rho(\mathbf r)\,\mathbf r\,dV.

Passo 3

Em equilíbrio hidrostático com campo de gravidade uniforme, a densidade \rho só depende do escalar \mathbf g\cdot\mathbf r. Ou seja, superfícies de mesmo \rho são planas e perpendiculares a \mathbf g. Como o domínio do gás é a esfera centrada em O, essa dependência faz com que o vetor \displaystyle\int_V \rho(\mathbf r)\,\mathbf r\,dV
fique alinhado a \mathbf g. Em outras palavras,
\mathbf r_{\rm cm}\;\parallel\;\mathbf g.

Passo 4

Como \mathbf r_{\rm cm} é paralelo a \mathbf g, o produto vetorial
\mathbf r_{\rm cm}\times\mathbf g
é o vetor nulo. Portanto, voltando à expressão do momento,
\mathbf M = M\,\mathbf r_{\rm cm}\times\mathbf g = \mathbf 0.

Resposta

O momento da força da gravidade em relação à origem é \boxed{\mathbf 0}.

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