Uma esfera de raio R, centrada na origem, está preenchida por um gás em equilíbrio hidrostático. A massa total de gás contida na esfera é M e a aceleração da gravidade vale \alpha \mathbf{i}-\beta \mathbf{j}.
Calcule a força exercida pelo gás sobre a casca esférica de raio R.

Passo 1

Temos uma esfera de raio R centrada na origem, preenchida por um gás em equilíbrio hidrostático, com massa total M. A aceleração da gravidade é constante e vale \mathbf g = \alpha\,\mathbf i - \beta\,\mathbf j. Queremos achar a força que o gás exerce sobre a casca esférica de raio R.

Passo 2

A força exercida pelo gás sobre a casca é a integral da pressão sobre a superfície interna da casca. Se \mathbf n é o vetor normal unitário apontando para fora do volume do gás, então
\mathbf F \;=\;\int_{S} p\,\mathbf n\,dA.

Passo 3

Pelo teorema da divergência (Gauss), podemos converter a integral de superfície numa integral de volume:
\int_{S} p\,\mathbf n\,dA \;=\;\int_{V}\nabla p\,dV.

Passo 4

Em equilíbrio hidrostático vale a relação
\nabla p \;=\;\rho\,\mathbf g,
onde \rho é a densidade do gás e \mathbf g a gravidade (constante).

Passo 5

Substituindo em \mathbf F:
\mathbf F \;=\;\int_{V}\rho\,\mathbf g\,dV.
Como \mathbf g é constante, podemos tirá-lo fora da integral:
\mathbf F = \mathbf g \,\int_{V}\rho\,dV.

Passo 6

Por definição, a massa total do gás é
M \;=\;\int_{V}\rho\,dV.
Logo
\mathbf F = M\,\mathbf g.

Passo 7

Finalmente, substituindo \mathbf g = \alpha\,\mathbf i - \beta\,\mathbf j, obtemos
\boxed{\mathbf F = M\bigl(\alpha\,\mathbf i - \beta\,\mathbf j\bigr).}

Resposta

\displaystyle \mathbf F = M(\alpha\,\mathbf i - \beta\,\mathbf j)

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