Uma esfera de raio
, centrada na origem, está preenchida por um gás em equilíbrio hidrostático. A massa total de gás contida na esfera é
e a aceleração da gravidade vale
.
Calcule a força exercida pelo gás sobre a casca esférica de raio
.
Calcule a força exercida pelo gás sobre a casca esférica de raio
Passo 1
Temos uma esfera de raio
centrada na origem, preenchida por um gás em equilíbrio hidrostático, com massa total
. A aceleração da gravidade é constante e vale
. Queremos achar a força que o gás exerce sobre a casca esférica de raio
.
Passo 2
A força exercida pelo gás sobre a casca é a integral da pressão sobre a superfície interna da casca. Se
é o vetor normal unitário apontando para fora do volume do gás, então
Passo 3
Pelo teorema da divergência (Gauss), podemos converter a integral de superfície numa integral de volume:
Passo 4
Em equilíbrio hidrostático vale a relação
onde
é a densidade do gás e
a gravidade (constante).
Passo 5
Substituindo em
:
Como
é constante, podemos tirá-lo fora da integral:
Passo 6
Por definição, a massa total do gás é
Logo
Passo 7
Finalmente, substituindo
, obtemos