Uma esfera de raio
, centrada na origem, está preenchida por um gás em equilíbrio hidrostático. A massa total de gás contida na esfera é
e a aceleração da gravidade vale
.
Calcule o momento desta força em relação à origem.
Calcule o momento desta força em relação à origem.
Passo 1
O enunciado pede o momento (ou torque) da força da gravidade sobre todo o gás dentro de uma esfera de raio
centrada na origem. A massa total do gás é
e a aceleração da gravidade é constante
Para resolver, vamos usar que, em mecânica de corpos contínuos, o momento total da força de volume
é
e que esse integral pode ser relacionado ao centro de massa do gás.
Passo 2
Escrevendo o momento em função da densidade
, temos
onde definimos o vetor posição do centro de massa do gás por
Passo 3
Em equilíbrio hidrostático com campo de gravidade uniforme, a densidade
só depende do escalar
. Ou seja, superfícies de mesmo
são planas e perpendiculares a
. Como o domínio do gás é a esfera centrada em
, essa dependência faz com que o vetor
fique alinhado a . Em outras palavras,
fique alinhado a
Passo 4
Como
é paralelo a
, o produto vetorial
é o vetor nulo. Portanto, voltando à expressão do momento,
Resposta
O momento da força da gravidade em relação à origem é