- Uma casca esférica de raio
e densidade superficial de carga (constante)
gira com velocidade angular constante
.
(b) Mostre que o momento de dipolo da esfera é
. (Dica 1: em sala mostramos que
. Você precisará encontrar uma expressão análoga envolvendo
. Dica 2: Use
, onde
é a área de uma espira formada por uma curva orientada
.)
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica de raio
, com densidade superficial de carga constante
, que gira em torno do eixo
, com velocidade angular constante
.
A tarefa é mostrar que o momento de dipolo magnético da casca é
A tarefa é mostrar que o momento de dipolo magnético da casca é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Raio da casca:
. - Densidade superficial de carga (constante):
. - Velocidade angular (eixo
): . - A casca gira rigidamente; portanto cada elemento de carga descreve movimentos circulares em torno do eixo
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais que vou usar (explicados de forma concreta):
- Momento de dipolo magnético de uma espira circular: para uma corrente
em uma espira de área vetorial vale
Aqui
tem módulo igual à área da espira e direção dada pela regra da mão direita (se a corrente segue a mão direita, o vetor aponta para o polo norte magnético).
- Relação entre carga em movimento e corrente: se uma carga total
descreve um círculo com período , a corrente associada é . Para rotação com temos , então
Essa é a ideia: cada anel da casca é uma espira que transporta uma carga
e gera um pequeno momento dipolar
.
Vou decompor a casca em anéis (espiras) concêntricos paralelos ao plano e somar (integrar) os momentos dipolares desses anéis.
Vou decompor a casca em anéis (espiras) concêntricos paralelos ao plano
Passo 3
Geometria de um anel da casca: fixo um ângulo polar
(medido a partir do eixo
), o anel tem:
- raio (no plano
): . - posição vertical:
. - largura (no sentido polar, sobre a superfície):
. - comprimento da circunferência:
.
A área da faixa (anel estreito) da superfície entre
e
é (circunferência × largura)
Portanto a carga contida nesse anel é
Passo 4
Corrente equivalente ao anel: essa carga
completa uma revolução em tempo
, então a corrente associada ao anel é
Observação física: para
a corrente circula no sentido azimutal que, pela regra da mão direita, produz um momento dipolar ao longo de
.
Passo 5
Momento dipolar diferencial do anel: a área da espira (anel) é a área do círculo de raio
,
Então o momento dipolar diferencial (vetorial) é
Substituindo
e
,
Passo 6
Integral sobre todos os anéis (desde o polo norte
até o polo sul
):
Calcule a integral
. Uma forma direta:
Fazendo
,
. Os limites: quando
tem
; quando
tem
. Assim
Essa integral é
Substituindo de volta,
Passo 7
Resumo físico e verificação rápida: o momento de dipolo aponta ao longo do eixo de rotação
(sentido determinado por
) e o fator
resulta da soma (integral) das contribuições de todos os anéis de carga da casca. Dimensionalmente faz sentido:
(C/m²) ×
(m^4) ×
(rad/s) → C·m²/s = A·m², que é a unidade de momento magnético.