1. Uma casca esférica de raio R e densidade superficial de carga (constante) \sigma gira com velocidade angular constante \omega.
(b) Mostre que o momento de dipolo da esfera é \vec{m}=\frac{4 \pi R^{4}}{3} \sigma \omega \hat{z}. (Dica 1: em sala mostramos que \vec{m}=I \int d \vec{a}. Você precisará encontrar uma expressão análoga envolvendo \vec{J}. Dica 2: Use \vec{a}=\frac{1}{2} \oint \vec{r} \times d \vec{\ell}, onde \vec{a} é a área de uma espira formada por uma curva orientada \vec{\ell}.)

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica de raio \,R, com densidade superficial de carga constante \,\sigma, que gira em torno do eixo \,z, com velocidade angular constante \,\omega.
A tarefa é mostrar que o momento de dipolo magnético da casca é
\vec{m}=\frac{4\pi R^{4}}{3}\,\sigma\,\omega\,\hat{z}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Raio da casca: \,R.
  • Densidade superficial de carga (constante): \,\sigma.
  • Velocidade angular (eixo z): \,\omega.
  • A casca gira rigidamente; portanto cada elemento de carga descreve movimentos circulares em torno do eixo z.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vou usar (explicados de forma concreta):
  • Momento de dipolo magnético de uma espira circular: para uma corrente I em uma espira de área vetorial \vec{A} vale
\vec{m}=I\,\vec{A}.
Aqui \vec{A} tem módulo igual à área da espira e direção dada pela regra da mão direita (se a corrente segue a mão direita, o vetor aponta para o polo norte magnético).
  • Relação entre carga em movimento e corrente: se uma carga total q descreve um círculo com período T, a corrente associada é I=q/T. Para rotação com \omega temos T=2\pi/\omega, então
I=\frac{\omega}{2\pi}\,q.
Essa é a ideia: cada anel da casca é uma espira que transporta uma carga dq e gera um pequeno momento dipolar d\vec{m}=I\,\vec{A}.
Vou decompor a casca em anéis (espiras) concêntricos paralelos ao plano xy e somar (integrar) os momentos dipolares desses anéis.

Passo 3

Geometria de um anel da casca: fixo um ângulo polar \theta (medido a partir do eixo z), o anel tem:
  • raio (no plano xy): \,a=R\sin\theta.
  • posição vertical: z=R\cos\theta.
  • largura (no sentido polar, sobre a superfície): R\,d\theta.
  • comprimento da circunferência: 2\pi a=2\pi R\sin\theta.
A área da faixa (anel estreito) da superfície entre \theta e \theta+d\theta é (circunferência × largura)
dA=(2\pi R\sin\theta)\,(R d\theta)=2\pi R^{2}\sin\theta\,d\theta.
Portanto a carga contida nesse anel é
dq=\sigma\,dA=2\pi\sigma R^{2}\sin\theta\,d\theta.

Passo 4

Corrente equivalente ao anel: essa carga dq completa uma revolução em tempo T=2\pi/\omega, então a corrente associada ao anel é
dI=\frac{\omega}{2\pi}\,dq=\frac{\omega}{2\pi}\,(2\pi\sigma R^{2}\sin\theta\,d\theta)=\sigma\omega R^{2}\sin\theta\,d\theta.
Observação física: para \omega>0 a corrente circula no sentido azimutal que, pela regra da mão direita, produz um momento dipolar ao longo de +\hat{z}.

Passo 5

Momento dipolar diferencial do anel: a área da espira (anel) é a área do círculo de raio a=R\sin\theta,
A_{\text{anel}}=\pi a^{2}=\pi R^{2}\sin^{2}\theta.
Então o momento dipolar diferencial (vetorial) é
d\vec{m}=dI\,\vec{A}=dI\;A_{\text{anel}}\;\hat{z}.
Substituindo dI e A_{\text{anel}},
d\vec{m}=\big(\sigma\omega R^{2}\sin\theta\,d\theta\big)\,\big(\pi R^{2}\sin^{2}\theta\big)\,\hat{z} =\pi\sigma\omega R^{4}\sin^{3}\theta\,d\theta\;\hat{z}.

Passo 6

Integral sobre todos os anéis (desde o polo norte \theta=0 até o polo sul \theta=\pi):
\vec{m}=\int_{0}^{\pi} d\vec{m}=\pi\sigma\omega R^{4}\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta\right)\hat{z}.
Calcule a integral \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta. Uma forma direta:
\sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta).
Fazendo u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Os limites: quando \theta=0 tem u=1; quando \theta=\pi tem u=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta=\int_{1}^{-1}(1-u^{2})(-du)=\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du.
Essa integral é
\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du=\Big[u-\frac{u^{3}}{3}\Big]_{-1}^{1}=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Substituindo de volta,
\vec{m}=\pi\sigma\omega R^{4}\left(\frac{4}{3}\right)\hat{z}=\frac{4\pi R^{4}}{3}\,\sigma\,\omega\,\hat{z}.

Passo 7

Resumo físico e verificação rápida: o momento de dipolo aponta ao longo do eixo de rotação \hat{z} (sentido determinado por \omega) e o fator \frac{4\pi R^{4}}{3}\sigma\omega resulta da soma (integral) das contribuições de todos os anéis de carga da casca. Dimensionalmente faz sentido: \sigma (C/m²) × R^{4} (m^4) × \omega (rad/s) → C·m²/s = A·m², que é a unidade de momento magnético.

Resposta

\vec{m}=\frac{4\pi R^{4}}{3}\,\sigma\,\omega\,\hat{z}

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