Uma esfera de raio R não condutora, e carga total Q, possui distribuição de carga não uniforme
\rho(r)=\frac{\alpha \mathrm{e}^{-2 r / R}}{r^{2}}
onde \alpha e R são constantes. Usando a lei de Gauss calcule: (a) a carga total da esfera em função de \alpha e de R; (b) o campo elétrico na região r<R; (c) o campo elétrico na região r>R. Resposta: (a) Q= 2 \pi \alpha R\left(1-\mathrm{e}^{-2}\right); (b) \mathbf{E}=\left(\alpha R / 2 \epsilon_{0} r^{2}\right)\left[1-\mathrm{e}^{(-2 r / R)}\right] \hat{r}; (c) \mathbf{E}=k Q / r^{2} \hat{r}.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica de carga radialmente dependente
\rho(r)=\frac{\alpha \mathrm{e}^{-2 r / R}}{r^{2}},
onde \alpha e R são constantes. A esfera ocupa 0\le r\le R. O problema pede três coisas:
(a) a carga total da esfera em função de \alpha e R;
(b) o campo elétrico \mathbf{E} na região r<R (dentro da esfera);
(c) o campo elétrico \mathbf{E} na região r>R (fora da esfera).
As informações relevantes fornecidas são:
  • expressão da densidade \rho(r) válida para 0\le r\le R;
  • raio da esfera: R;
  • constantes: \alpha e R;
  • pede-se usar a lei de Gauss.

Passo 2

Lembrete e justificativa do método (fórmula que vamos usar).
A lei de Gauss, em forma integral, diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total contida dividida por \epsilon_0:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
Aqui:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico na superfície fechada \mathcal{S};
  • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial apontando para fora;
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume delimitado por \mathcal{S};
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Por simetria esférica (a densidade depende só de r), o campo elétrico em uma superfície esférica de raio r é radial e tem mesma magnitude em todo ponto da esfera: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}. Então, para uma superfície esférica de raio r temos
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Portanto a lei de Gauss reduz-se a
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\epsilon_0},
onde Q_{\text{int}}(r) é a carga contida dentro da esfera de raio r. Para obter E(r) precisamos calcular Q_{\text{int}}(r) por integração da densidade.

Passo 3

Cálculo de Q_{\text{int}}(r) (carga dentro de uma esfera de raio r\le R).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV=4\pi r'^{2}dr' quando já integramos sobre ângulos (ou, mais corretamente, dV=r'^{2}\sin\theta\,dr'\,d\theta\,d\varphi e a integração angular dá 4\pi). Assim
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'.
Substituindo a densidade dada:
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\frac{\alpha \mathrm{e}^{-2 r' / R}}{r'^{2}}\,4\pi r'^{2}\,dr'.
Aqui aparece uma coisa útil: os fatores r'^{2} no numerador e denominador se cancelam, portanto a integral fica simples:
Q_{\text{int}}(r)=4\pi\alpha\int_{0}^{r}\mathrm{e}^{-2 r' / R}\,dr'.
Agora integramos a exponencial. A primitiva de \mathrm{e}^{-2 r' / R} em relação a r' é -\dfrac{R}{2}\mathrm{e}^{-2 r' / R}. Aplicando os limites de 0 a r:
Q_{\text{int}}(r)=4\pi\alpha\left[-\frac{R}{2}\mathrm{e}^{-2 r' / R}\right]_{0}^{r} =4\pi\alpha\left(-\frac{R}{2}\mathrm{e}^{-2 r / R}+\frac{R}{2}\mathrm{e}^{0}\right).
Simplificando:
Q_{\text{int}}(r)=4\pi\alpha\frac{R}{2}\left(1-\mathrm{e}^{-2 r / R}\right) =2\pi\alpha R\left(1-\mathrm{e}^{-2 r / R}\right).
Comentário didático rápido: apesar de \rho(r) parecer singular em r=0 por ter 1/r^{2}, o volume element traz um fator r'^{2} que cancela exatamente essa singularidade, garantindo que a carga dentro de qualquer esfera de raio pequeno seja finita.

Passo 4

Campo elétrico para r<R (usar o Q_{\text{int}}(r) encontrado).
Usando a forma reduzida da lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\epsilon_0},
substituindo Q_{\text{int}}(r)=2\pi\alpha R\left(1-\mathrm{e}^{-2 r / R}\right),
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{2\pi\alpha R\left(1-\mathrm{e}^{-2 r / R}\right)}{\epsilon_0}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{2\pi\alpha R\left(1-\mathrm{e}^{-2 r / R}\right)}{4\pi\epsilon_0\,r^{2}} =\frac{\alpha R}{2\epsilon_0\,r^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-2 r / R}\right).
Recuperando o vetor campo, como é radial:
\mathbf{E}(r)=\frac{\alpha R}{2\epsilon_0\,r^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-2 r / R}\right)\hat{r}, \qquad (r<R).

Passo 5

Carga total da esfera (item (a)).
A carga total Q corresponde a Q_{\text{int}}(r) avaliado em r=R. Usando a expressão do Passo 3:
Q=Q_{\text{int}}(R)=2\pi\alpha R\left(1-\mathrm{e}^{-2 R / R}\right) =2\pi\alpha R\left(1-\mathrm{e}^{-2}\right).
Essa é a resposta pedida em (a).

Passo 6

Campo elétrico para r>R (item (c)).
Para r>R toda a carga da esfera está contida dentro da superfície esférica de raio r. Portanto Q_{\text{int}}(r)=Q (o valor calculado no Passo 5). Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,r^{2}}.
Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^{2}}\hat{r}=k\frac{Q}{r^{2}}\hat{r}, \qquad (r>R),
onde k=1/(4\pi\epsilon_0).

Passo 7

Pequena verificação (continuidade e limites).
  • No limite r\to 0 a expressão interior comporta-se como \mathbf{E}\sim (\alpha R/(2\epsilon_0 r^{2}))(1-(1-2r/R+\cdots))\approx (\alpha R/(2\epsilon_0 r^{2}))(2r/R)=\alpha/(\epsilon_0 r), ou seja, o campo diverge como 1/r muito próximo da origem se \alpha\neq 0. Isso é consequência física da densidade singular em r=0; porém a carga contida em qualquer volume finito permanece finita. (Se \alpha fosse tal que o comportamento físico exigisse campo finito no centro, isso imporia restrições sobre \alpha.)
  • No limite r\to R^{-} a expressão interna dá \mathbf{E}(R^{-})=(\alpha R/(2\epsilon_0 R^{2}))(1-\mathrm{e}^{-2})\hat{r}=\dfrac{\alpha}{2\epsilon_0 R}(1-\mathrm{e}^{-2})\hat{r}. A expressão externa em r=R^{+} com Q do Passo 5 fornece o mesmo valor, o que garante consistência (continuidade do campo radial fora de superfícies carregadas volumetricamente).

Resposta

Q=2\pi\alpha R\left(1-\mathrm{e}^{-2}\right)\n
\mathbf{E}(r)=\dfrac{\alpha R}{2\epsilon_{0}r^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-2 r / R}\right)\hat{r}\quad (r<R)\n
\mathbf{E}(r)=k\dfrac{Q}{r^{2}}\hat{r}\quad (r>R)

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