Uma esfera de raio
não condutora, e carga total
, possui distribuição de carga não uniforme
onde
e
são constantes. Usando a lei de Gauss calcule: (a) a carga total da esfera em função de
e de
; (b) o campo elétrico na região
; (c) o campo elétrico na região
. Resposta: (a)
; (b)
; (c)
.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera não condutora de raio
com densidade volumétrica de carga radialmente dependente
onde
e
são constantes. A esfera ocupa
. O problema pede três coisas:
(a) a carga total da esfera em função de
e
;
(b) o campo elétrico
na região
(dentro da esfera);
(c) o campo elétrico
na região
(fora da esfera).
As informações relevantes fornecidas são:
- expressão da densidade
válida para ; - raio da esfera:
; - constantes:
e ; - pede-se usar a lei de Gauss.
Passo 2
Lembrete e justificativa do método (fórmula que vamos usar).
A lei de Gauss, em forma integral, diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total contida dividida por :
A lei de Gauss, em forma integral, diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total contida dividida por
Aqui:
-
é o campo elétrico na superfície fechada ; -
é o elemento de área vetorial apontando para fora; -
é a carga total contida no volume delimitado por ; -
é a permissividade do vácuo.
Por simetria esférica (a densidade depende só de
), o campo elétrico em uma superfície esférica de raio
é radial e tem mesma magnitude em todo ponto da esfera:
. Então, para uma superfície esférica de raio
temos
Portanto a lei de Gauss reduz-se a
onde
é a carga contida dentro da esfera de raio
. Para obter
precisamos calcular
por integração da densidade.
Passo 3
Cálculo de
(carga dentro de uma esfera de raio
).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é quando já integramos sobre ângulos (ou, mais corretamente,
e a integração angular dá
). Assim
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Substituindo a densidade dada:
Aqui aparece uma coisa útil: os fatores
no numerador e denominador se cancelam, portanto a integral fica simples:
Agora integramos a exponencial. A primitiva de
em relação a
é
. Aplicando os limites de
a
:
Simplificando:
Comentário didático rápido: apesar de
parecer singular em
por ter
, o volume element traz um fator
que cancela exatamente essa singularidade, garantindo que a carga dentro de qualquer esfera de raio pequeno seja finita.
Passo 4
Campo elétrico para
(usar o
encontrado).
Usando a forma reduzida da lei de Gauss:
Usando a forma reduzida da lei de Gauss:
substituindo
,
Isolando
:
Recuperando o vetor campo, como é radial:
Passo 5
Carga total da esfera (item (a)).
A carga total corresponde a
avaliado em
. Usando a expressão do Passo 3:
A carga total
Essa é a resposta pedida em (a).
Passo 6
Campo elétrico para
(item (c)).
Para toda a carga da esfera está contida dentro da superfície esférica de raio
. Portanto
(o valor calculado no Passo 5). Aplicando Gauss:
Para
Em forma vetorial:
onde
.
Passo 7
Pequena verificação (continuidade e limites).
- No limite
a expressão interior comporta-se como , ou seja, o campo diverge como muito próximo da origem se . Isso é consequência física da densidade singular em ; porém a carga contida em qualquer volume finito permanece finita. (Se fosse tal que o comportamento físico exigisse campo finito no centro, isso imporia restrições sobre .) - No limite
a expressão interna dá . A expressão externa em com do Passo 5 fornece o mesmo valor, o que garante consistência (continuidade do campo radial fora de superfícies carregadas volumetricamente).