Uma esfera de raio R possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por \rho=\mathrm{Br}, onde B é uma constante e r é a distância ao centro da distribuição. Determine o módulo do campo elétrico para pontos (a) exteriores e (b) interiores à esfera. A partir dos resultados anteriores para os campos elétricos, calcule o potencial elétrico (c) para pontos exteriores e (d) interiores da esfera. Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga esfericamente simétrica
\rho(\mathbf{r}) = \mathrm{B}\,r,
onde \mathrm{B} é constante e r é a distância ao centro. Pede-se:
(a) o módulo do campo elétrico para pontos exteriores à esfera (r>R);
(b) o módulo do campo elétrico para pontos interiores à esfera (r<R);
(c) o potencial elétrico para pontos exteriores (r>R);
(d) o potencial elétrico para pontos interiores (r<R).
Informações úteis dadas explicitamente: \mathrm{B} (constante), R (raio), \rho=\mathrm{B}r.
Vou assumir a convenção usual V(\infty)=0 para definir o potencial.
Passo 2
Conceito e ferramenta principal (explicado passo a passo): a simetria esférica permite usar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss em sua forma integral é
d\mathbf{A} é o elemento de área da superfície fechada \mathcal{S},
Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro de \mathcal{S},
\varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Por simetria esférica: em uma esfera gaussiana de raio r centrada na distribuição, \mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre a superfície, e d\mathbf{A} é radial. Assim a integral de superfície vira
onde Q_{\text{int}}(r) é a carga total dentro da esfera de raio r. Explico agora como calcular Q_{\text{int}}(r) a partir de \rho.
Passo 3
Cálculo da carga total contida até um raio s genérico (vou usar s como limite de integração para não confundir com a variável do campo):
a carga em um elemento de volume esférico de raio r^{\prime} é \rho(r^{\prime})\,dV com dV=4\pi r^{\prime 2} d r^{\prime}. Usando \rho=\mathrm{B}r^{\prime},
Q_{\text{int}}(s)=\int_{0}^{s} \rho(r^{\prime})\,4\pi r^{\prime 2} d r^{\prime} =4\pi \mathrm{B}\int_{0}^{s} r^{\prime 3} d r^{\prime}.
Integrando r^{\prime 3}:
\int_{0}^{s} r^{\prime 3} d r^{\prime}=\left.\frac{r^{\prime 4}}{4}\right|_{0}^{s}=\frac{s^{4}}{4}.
Observação física: a direção é radial (para fora se \mathrm{B}>0) e aqui pediram o módulo, que é a expressão acima.
Passo 5
Campo elétrico para pontos interiores (r<R):
para um raio r<R usamos Q_{\text{int}}(r)=\pi \mathrm{B} r^{4} (veja Passo 3 com s=r). Então, pela fórmula do Passo 2,
Isto corresponde ao potencial de uma carga total Q_{\text{tot}}=\pi \mathrm{B}R^{4} visto a distância r, pois Q_{\text{tot}}/(4\pi\varepsilon_{0} r)=(\mathrm{B}R^{4})/(4\varepsilon_{0} r).
Passo 8
Potencial para pontos interiores (r\le R):
primeiro encontro o valor em r=R usando a expressão exterior:
Verificação rápida (continuidade): para r=R obtemos V(R)=\dfrac{\mathrm{B}}{12\varepsilon_{0}}(4R^{3}-R^{3})=\dfrac{\mathrm{B}R^{3}}{4\varepsilon_{0}}, consistente com V(R) encontrado antes. Também pode verificar E(r)=-dV/dr recuperando E(r)=\dfrac{\mathrm{B}r^{2}}{4\varepsilon_{0}}.
Passo 9
Conclusão física e lembrete: as expressões acima dão os módulos de \mathbf{E} e o potencial com a referência V(\infty)=0. Se \mathrm{B}>0 as direções são radiais para fora; se \mathrm{B}<0 invertem-se as direções. Agora listo somente as respostas finais pedidas.
Resposta
(a) \displaystyle E(r)=\frac{\mathrm{B}\,R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r^{2}} para r>R.
(b) \displaystyle E(r)=\frac{\mathrm{B}\,r^{2}}{4\varepsilon_{0}} para r<R.
(c) \displaystyle V(r)=\frac{\mathrm{B}\,R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r} para r>R (com V(\infty)=0).
(d) \displaystyle V(r)=\frac{\mathrm{B}}{12\varepsilon_{0}}\bigl(4R^{3}-r^{3}\bigr) para r<R.