Uma esfera de raio R possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por \rho=\mathrm{Br}, onde B é uma constante e r é a distância ao centro da distribuição. Determine o módulo do campo elétrico para pontos (a) exteriores e (b) interiores à esfera. A partir dos resultados anteriores para os campos elétricos, calcule o potencial elétrico (c) para pontos exteriores e (d) interiores da esfera. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga esfericamente simétrica
\rho(\mathbf{r}) = \mathrm{B}\,r,
onde \mathrm{B} é constante e r é a distância ao centro. Pede-se:
(a) o módulo do campo elétrico para pontos exteriores à esfera ( r>R);
(b) o módulo do campo elétrico para pontos interiores à esfera ( r<R);
(c) o potencial elétrico para pontos exteriores ( r>R);
(d) o potencial elétrico para pontos interiores ( r<R).
Informações úteis dadas explicitamente: \mathrm{B} (constante), R (raio), \rho=\mathrm{B}r.
Vou assumir a convenção usual V(\infty)=0 para definir o potencial.

Passo 2

Conceito e ferramenta principal (explicado passo a passo): a simetria esférica permite usar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss em sua forma integral é
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico,
  • d\mathbf{A} é o elemento de área da superfície fechada \mathcal{S},
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro de \mathcal{S},
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Por simetria esférica: em uma esfera gaussiana de raio r centrada na distribuição, \mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre a superfície, e d\mathbf{A} é radial. Assim a integral de superfície vira
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Logo, para qualquer raio r,
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}},
onde Q_{\text{int}}(r) é a carga total dentro da esfera de raio r. Explico agora como calcular Q_{\text{int}}(r) a partir de \rho.

Passo 3

Cálculo da carga total contida até um raio s genérico (vou usar s como limite de integração para não confundir com a variável do campo):
a carga em um elemento de volume esférico de raio r^{\prime} é \rho(r^{\prime})\,dV com dV=4\pi r^{\prime 2} d r^{\prime}. Usando \rho=\mathrm{B}r^{\prime},
Q_{\text{int}}(s)=\int_{0}^{s} \rho(r^{\prime})\,4\pi r^{\prime 2} d r^{\prime} =4\pi \mathrm{B}\int_{0}^{s} r^{\prime 3} d r^{\prime}.
Integrando r^{\prime 3}:
\int_{0}^{s} r^{\prime 3} d r^{\prime}=\left.\frac{r^{\prime 4}}{4}\right|_{0}^{s}=\frac{s^{4}}{4}.
Portanto
Q_{\text{int}}(s)=4\pi \mathrm{B}\cdot\frac{s^{4}}{4}=\pi \mathrm{B} s^{4}.

Passo 4

Campo elétrico para pontos exteriores ( r>R):
a carga total da esfera (usando s=R) é
Q_{\text{tot}}=Q_{\text{int}}(R)=\pi \mathrm{B} R^{4}.
Aplicando a fórmula do Passo 2 para r>R (toda a carga está dentro da esfera gaussiana de raio r):
E(r)=\frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}} =\frac{\pi \mathrm{B} R^{4}}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}} =\frac{\mathrm{B} R^{4}}{4\varepsilon_{0}\, r^{2}}.
Observação física: a direção é radial (para fora se \mathrm{B}>0) e aqui pediram o módulo, que é a expressão acima.

Passo 5

Campo elétrico para pontos interiores ( r<R):
para um raio r<R usamos Q_{\text{int}}(r)=\pi \mathrm{B} r^{4} (veja Passo 3 com s=r). Então, pela fórmula do Passo 2,
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}} =\frac{\pi \mathrm{B} r^{4}}{4\pi \varepsilon_{0} r^{2}} =\frac{\mathrm{B}\, r^{2}}{4\varepsilon_{0}}.
Novamente, direção radial (para fora se \mathrm{B}>0). Note que E(r) cresce com r^{2} dentro da esfera.

Passo 6

Resumo intermediário dos resultados do campo (módulos):
  • para r>R: \displaystyle E(r)=\frac{\mathrm{B} R^{4}}{4\varepsilon_{0}\, r^{2}};
  • para r<R: \displaystyle E(r)=\frac{\mathrm{B}\, r^{2}}{4\varepsilon_{0}}.
Agora passamos ao potencial elétrico V(r). Lembra: V(b)-V(a)=-\displaystyle\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}. Com simetria radial e escolhendo V(\infty)=0, temos
V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(r^{\prime})\, d r^{\prime}.

Passo 7

Potencial para pontos exteriores ( r\ge R):
usar E(r^{\prime})=\dfrac{\mathrm{B} R^{4}}{4\varepsilon_{0}\, r^{\prime 2}} na integral
V(r)=-\int_{\infty}^{r}\frac{\mathrm{B} R^{4}}{4\varepsilon_{0}\, r^{\prime 2}} d r^{\prime} =-\frac{\mathrm{B} R^{4}}{4\varepsilon_{0}}\int_{\infty}^{r}\frac{1}{r^{\prime 2}} d r^{\prime}.
Calcule a integral impropria:
\int_{\infty}^{r}\frac{1}{r^{\prime 2}} d r^{\prime}=\left[-\frac{1}{r^{\prime}}\right]_{\infty}^{r}=-\frac{1}{r}-0=-\frac{1}{r}.
Portanto
V(r)=-\frac{\mathrm{B} R^{4}}{4\varepsilon_{0}}\left(-\frac{1}{r}\right)=\frac{\mathrm{B} R^{4}}{4\varepsilon_{0}\, r}.
Isto corresponde ao potencial de uma carga total Q_{\text{tot}}=\pi \mathrm{B}R^{4} visto a distância r, pois Q_{\text{tot}}/(4\pi\varepsilon_{0} r)=(\mathrm{B}R^{4})/(4\varepsilon_{0} r).

Passo 8

Potencial para pontos interiores ( r\le R):
primeiro encontro o valor em r=R usando a expressão exterior:
V(R)=\frac{\mathrm{B} R^{4}}{4\varepsilon_{0} R}=\frac{\mathrm{B} R^{3}}{4\varepsilon_{0}}.
Agora para r<R,
V(r)=V(R)-\int_{R}^{r} E(r^{\prime}) d r^{\prime} =V(R)-\int_{R}^{r}\frac{\mathrm{B}\, r^{\prime 2}}{4\varepsilon_{0}} d r^{\prime}.
Calcule a integral:
\int_{R}^{r} r^{\prime 2} d r^{\prime}=\left.\frac{r^{\prime 3}}{3}\right|_{R}^{r}=\frac{r^{3}-R^{3}}{3}.
Logo
V(r)=\frac{\mathrm{B} R^{3}}{4\varepsilon_{0}}-\frac{\mathrm{B}}{4\varepsilon_{0}}\cdot\frac{r^{3}-R^{3}}{3}.
Faço a simplificação algébrica: escrevendo com denominador comum 12\varepsilon_{0},
V(r)=\frac{\mathrm{B}}{12\varepsilon_{0}}\bigl(4R^{3}-r^{3}\bigr).
Verificação rápida (continuidade): para r=R obtemos V(R)=\dfrac{\mathrm{B}}{12\varepsilon_{0}}(4R^{3}-R^{3})=\dfrac{\mathrm{B}R^{3}}{4\varepsilon_{0}}, consistente com V(R) encontrado antes. Também pode verificar E(r)=-dV/dr recuperando E(r)=\dfrac{\mathrm{B}r^{2}}{4\varepsilon_{0}}.

Passo 9

Conclusão física e lembrete: as expressões acima dão os módulos de \mathbf{E} e o potencial com a referência V(\infty)=0. Se \mathrm{B}>0 as direções são radiais para fora; se \mathrm{B}<0 invertem-se as direções. Agora listo somente as respostas finais pedidas.

Resposta

(a) \displaystyle E(r)=\frac{\mathrm{B}\,R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r^{2}} para r>R.
(b) \displaystyle E(r)=\frac{\mathrm{B}\,r^{2}}{4\varepsilon_{0}} para r<R.
(c) \displaystyle V(r)=\frac{\mathrm{B}\,R^{4}}{4\varepsilon_{0}\,r} para r>R (com V(\infty)=0).
(d) \displaystyle V(r)=\frac{\mathrm{B}}{12\varepsilon_{0}}\bigl(4R^{3}-r^{3}\bigr) para r<R.

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