Para a distribuição de carga
, para
;
, para
.
(a) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para
a. (b) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para
Encontrar a carga total. Justifique a sua resposta.
(a) Encontrar o módulo do campo elétrico E e o potencial V para
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de carga esfericamente simétrica com densidade
e
Pede-se:
(a) o módulo do campo elétrico e o potencial
para
;
(b) o módulo do campo elétrico e o potencial
para
;
(c) a carga total do sistema.
Todas as respostas devem ser funções de , de
, de
e de
. Vou assumir a condição usual de referência do potencial
.
(a) o módulo do campo elétrico
(b) o módulo do campo elétrico
(c) a carga total do sistema.
Todas as respostas devem ser funções de
Passo 2
Ideia física e ferramenta matemática que vamos usar (explicação didática). A carga é esfericamente simétrica, então o campo elétrico fora e dentro só depende de
e é radial. A lei de Gauss integral em eletrostática diz que, para uma superfície esférica de raio
,
Aqui
é a carga total contida na esfera de raio
. Para uma esfera simétrica o campo tem módulo
e direção radial, e a integral de superfície dá simplesmente
. Assim, a partir de
obtemos
por
Explico:
é a permissividade do vácuo;
é a área da superfície esférica;
vem da integral volumétrica da densidade
sobre a esfera de raio
.
Passo 3
Calcular a carga contida numa esfera de raio genérico
. Usamos a fórmula do volume esférico em coordenadas radiais: um elemento de volume é
. Portanto para
,
Substituindo
obtemos
Passo 4
Resolvo a integral explicitamente (mostrando cada passo). Calculemos as primitivas:
Aplicando os limites
a
vem
Passo 5
Agora uso Gauss para obter
para
. Pela fórmula
substituo
e simplifico:
Corta
e simplifica potências de
:
Posso escrever de forma factorada:
com direção radial (para sinal de
o campo aponta para fora). Esta é a expressão do módulo de
para
.
Passo 6
Para
toda a carga do corpo está contida dentro da esfera de raio
, então
(a carga total). Primeiro vamos calcular a carga total explicitamente integrando até
.
Passo 7
Cálculo da carga total
. Usamos a expressão de
com
:
Simplificando os potes de
:
Calculo do parêntese:
Logo
Isto responde a parte (c) e é usado na parte (a).
Passo 8
Campo elétrico para
. Como toda carga está dentro, o campo fora se comporta como de uma carga pontual
colocada no centro. Pela lei de Coulomb (ou Gauss),
Substituindo
obtemos
Simplificando fatores
:
Ou escrito de modo mais claro,
com direção radial (para fora se
).
Passo 9
Agora o potencial. Lembrando a relação entre
e
: para campo radial,
Usarei a condição
para obter
em todas as regiões.
Primeiro
. O potencial para
vindo de uma carga total
é (com
)
Substituindo
obtemos
Passo 10
Potencial para
. Uma forma prática é calcular
pela expressão externa e depois integrar o campo interior de
até
. Primeiro
Em seguida, para
,
Como
a integral com limite superior menor muda de sinal; é mais confortável reescrever
Substituo
e integro:
Calculo das primitivas:
Aplicando os limites
a
dá
Simplificando
e adicionando a
(onde
) obtemos
Como verificação rápida, se
obtemos
que coincide com a expressão externa, logo
é contínua em
. Também
reproduz a expressão interior do passo 5.
Passo 11
Resumo final das expressões (já deduzidas passo a passo):
Para
:
Para
:
Carga total:
Resposta
(a)
para
.
(b) para
.
(c) .
(b)
(c)