Uma esfera de raio
é suspensa por um fio a partir de um ponto fixo, tal que a distância do centro da esfera ao ponto de suspensão vale
. Ache o período do pêndulo para pequenas oscilações. Mostre que, para
. O resultado encontrado tende ao conhecido caso do pêndulo físico.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é assim: temos uma esfera de raio
presa num fio (ou haste) de forma que o centro da esfera fica a uma distância
do ponto de suspensão. A gente quer achar o período das pequenas oscilações desse pêndulo “corpo extenso” (um pêndulo físico). No fim, mostrar que, quando
, cai no caso clássico de pêndulo simples.
Conteúdo: pêndulo físico, momento de inércia, torque e aproximação de pequeno ângulo. Vamos precisar:
Conteúdo: pêndulo físico, momento de inércia, torque e aproximação de pequeno ângulo. Vamos precisar:
- calcular o momento de inércia da esfera em torno do ponto de suspensão;
- usar torque
e equação de movimento ; - aplicar
(pequeno ângulo) pra achar e, daí, o período .
Passo 2
Primeiro, momento de inércia da esfera em torno do ponto de suspensão. Sabemos que:
- Momento de inércia da esfera em torno do seu centro:
- Pelo teorema dos eixos paralelos (Steiner), o momento em torno do ponto de suspensão, a distância
do centro, é
Passo 3
Agora, a equação de dinâmica rotacional: o torque restaurador em relação ao ponto de suspensão é
E a equação de Newton para rotação é
Para pequenas oscilações usamos
, então
Reorganizando, fica
Isso é a equação do movimento harmônico simples
, logo
Passo 4
O período
é dado por
Agora, se
, o termo
é desprezível perto de
. Então
que é justamente o período do pêndulo simples de comprimento
.