Uma esfera de raio R é suspensa por um fio a partir de um ponto fixo, tal que a distância do centro da esfera ao ponto de suspensão vale l. Ache o período do pêndulo para pequenas oscilações. Mostre que, para R ll l. O resultado encontrado tende ao conhecido caso do pêndulo físico.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é assim: temos uma esfera de raio presa num fio (ou haste) de forma que o centro da esfera fica a uma distância do ponto de suspensão. A gente quer achar o período das pequenas oscilações desse pêndulo “corpo extenso” (um pêndulo físico). No fim, mostrar que, quando , cai no caso clássico de pêndulo simples.
Conteúdo: pêndulo físico, momento de inércia, torque e aproximação de pequeno ângulo. Vamos precisar:
  1. calcular o momento de inércia da esfera em torno do ponto de suspensão;
  2. usar torque e equação de movimento ;
  3. aplicar (pequeno ângulo) pra achar e, daí, o período .

Passo 2

Primeiro, momento de inércia da esfera em torno do ponto de suspensão. Sabemos que:
  • Momento de inércia da esfera em torno do seu centro:
Irm cm = 25mR^2
  • Pelo teorema dos eixos paralelos (Steiner), o momento em torno do ponto de suspensão, a distância I = Irm cm + m,l^2 = 25mR^2 + m,l^2 do centro, é

Passo 3

Agora, a equação de dinâmica rotacional: o torque restaurador em relação ao ponto de suspensão é
tau = - m g l ,sintheta
E a equação de Newton para rotação é
tau = I,alpha = I,ddottheta
Para pequenas oscilações usamos - m g l,theta = l(tfrac25mR^2 + m,l^2r),ddottheta , então
ddottheta + m g l25mR^2 + m,l^2;theta = 0
Reorganizando, fica
omega^2 = g ll^2 + tfrac25R^2
Isso é a equação do movimento harmônico simples , logo

Passo 4

O período T = 2piomega = 2pi raizl^2 + tfrac25R^2g,l é dado por
Tapprox 2piraizl^2g,l = 2piraizlg,
Agora, se , o termo é desprezível perto de . Então
que é justamente o período do pêndulo simples de comprimento .

Resposta

boxedT = 2pi raizl^2 + tfrac25R^2g,l e, para (Rll l), T to 2piraizlg

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