Um homem quer atravessar um rio de 500 m de largura. A velocidade escalar com que consegue remar (relativamente à água) é de . O rio desce à velocidade de . A velocidade com que o homem caminha em terra é de . (a) Ache o trajeto (combinando andar e remar) que ele deve tomar para chegar ao ponto diretamente oposto ao seu ponto de partida no menor tempo. (b) Quanto tempo ele gasta?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: um cara quer atravessar um rio de largura 500 m. Ele rema a 3,0 km/h em relação à água e o rio corre a 2,0 km/h. Depois de chegar do outro lado, ele anda na margem a 5,0 km/h. A meta é chegar no ponto exatamente oposto ao de partida no menor tempo, combinando remar e andar.
Conteúdo: dinâmica de velocidades relativas (vetores), decomposição em componentes, tempo de percurso e otimização (fazer a melhor “régua” de tempo). Vamos precisar:
Decompor a velocidade de remada em componente perpendicular à margem e componente paralela (afastando ou aproximando do destino).
Calcular tempo de remada e tempo de caminhada.
Ver qual ângulo de remada minimiza o tempo total.
Passo 2
Modelando o problema:
Chama θ o ângulo que ele faz, em relação à direção perpendicular à margem, apontando para montante (pra cima do rio).
Velocidade de remada relativa à água, vetorialmente:
componente perpendicular (atravessamento):
componente paralela (contra ou a favor da corrente):
A corrente do rio empurra com km/h no sentido oposto a . Então a velocidade resultante paralela é .
Largura do rio: km.
Passo 3
Tempo de remada até a outra margem:
Durante essa remada, ele vai “cair” na outra margem deslocado lateralmente uma distância
Depois ele precisa caminhar o valor a 5 km/h, então
Tempo total:
Passo 4
Para achar o mínimo de 2 - 3sintheta = 0 Longrightarrow sintheta = 23 Longrightarrow theta = arcsin!l(tfrac23r)approx 41,8^circ, notamos que se a gente conseguir fazer , o termo de caminhada some e o total fica só do remar.
A condição dá
Isso elimina totalmente a caminhada e geralmente dá o menor tempo.
Passo 5
Com Tmin = 0,53,(raiz5/3) = 0,5raiz5 = 0,52,236ldots approx 0,2236 h approx 13,4 min, temos
O tempo de remada (e total) é então
Resposta
(a) Ele deve remar fazendo um ângulo em relação à perpendicular tal que , ou seja para montante.
(b) O tempo mínimo gasto é aproximadamente h, isto é, minutos.