x(s)=x0 s+gamma(s+gamma)^2+b^2+(v0+gamma x0) 1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2=omega0^2-gamma^2. No caso subamortecido, temos b^2>0, isto é omega0^2>gamma^2.
b) Agora, confirme se sua intuição está correta obtendo formalmente x(t) aplicando o operador L^-1 em x(s).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a transformada de Laplace da saída é
x(s)=x0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2 ;+;l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2+b^2,
com e estamos no caso subamortecido ( ).
O que a gente vai fazer é aplicar a transformada inversa para voltar a função no domínio do tempo .
Para isso precisamos lembrar da tabela básica de Laplace:
  1. .
  2. .
    E usar a linearidade da transformada.

Passo 2

Olha o primeiro pedaço:
x0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2
Na tabela isso é exatamente L^-1lx0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2r = x0,e^-gamma tcos(bt) .
Logo, pela linearidade, a inversa é

Passo 3

Agora o segundo termo:
l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2+b^2
Para usar a tabela de 1(s+gamma)^2+b^2 = 1b;b(s+gamma)^2+b^2 , notamos que
L^-1ll(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2+b^2r = l(v0+gamma x0r),1b;e^-gamma tsin(bt)
E é .
Então

Passo 4

Juntando os dois resultados pela soma (linearidade de novo), temos
x(t) = x0,e^-gamma tcos(bt) ;+;v0+gamma x0b;e^-gamma tsin(bt)

Resposta

boxed x(t) ;=; e^-gamma t,l[x0cos(bt);+;v0+gamma x0b,sin(bt)r]

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